Apostila FB equação exponencia aprofundamento. Sistema

por SallesB 26/5/2024, 11:39 am

Determine o número de pares de números reais positivos (X, Y) tais que

[latex] \begin{pmatrix} x^{x+y}=y^{24} & \\ y^{x+y}=x^{6} & \end{pmatrix}[/latex]

A)1
B)2
C)3
D)4
E)5

por **Elcioschin** 26/5/2024, 1:52 pm

Uma solução óbvia é (1, 1)

por SallesB 26/5/2024, 3:03 pm

Sim de fato (1,1) é solução. Agora achar as outras e mostra que so são elas é o que está complicado

por **Giovana Martins** 26/5/2024, 4:23 pm

\[\mathrm{Das\ igualdades: (x+y)ln(x)=24ln(y)\ (i)\ e\ (x+y)ln(y)=6ln(x)\ (ii)}\]

\[\mathrm{Assim: \frac{(x+y)ln(x)}{(x+y)ln(y)}=\frac{24ln(y)}{6ln(x)}\ \therefore\ [ln(x)]^2=4[ln(y)]^2=[2ln(y)]^2\ \therefore\ ln(x)=ln\left ( y^2 \right )}\]

\[\mathrm{Sendo\ ln(x)=ln\left ( y^2 \right )\ \therefore\ x=y^2\ \therefore\ x^{x+y}=y^{24}\to \left ( y^2 \right )^{y^2+y}=y^{24}=\left ( y^2 \right )^{12}}\]

\[\mathrm{\therefore\ y^2+y-12=0\ \therefore\ y=\left \{ -4,3 \right \}\ \therefore\ x=y^2=\left \{ 9,16 \right \}\ \therefore\ (x,y)=\left \{ (16,-4),(9,3) \right \}}\]

\[\mathrm{Vale\ notar\ que\ x^{x+y}=y^{24}\ \therefore\ (1)^{1+1}=(1)^{24}\ \therefore\ 1=1\to Ok!}\]

\[\mathrm{Analogamente:y^{x+y}=x^6\ \therefore\ (1)^{1+1}=(1)^6\ \therefore\ 1=1\to Ok!}\]

\[\mathrm{\therefore\ (x,y)=\left \{ (16,-4),(1,1),(9,3) \right \}}\]

Como a questão diz que x e y são positivos, descartamos o par (x,y) = (16,-4), restando somente (x,y) = {(1,1),(9,3)} conforme o item b.