Pêndulo cônico com força elétrica

por Pupilo Dom 16 Jun 2024, 01:05

Uma pequena esfera carregada eletricamente de massa m= 5 g gira em um plano horizontal suspenso por um fio ideal dentro de um elevador que sobe verticalmente com aceleração a= 2m/s^2, como mostra a figura. No centro da trajetória circular realizada pela pequena esfera, está fixa uma outra partícula com a mesma carga q. A velocidade angular da esfera vale [latex]\omega [/latex] = 20rad/s e o raio da trajetória circular é igual a R= 0,02 m. Sabendo que [latex]\alpha = 45^{\circ}[/latex], g = 10m/s^2 e K= 9.10^9Nm^2/C^2, determine a carga q das esferas.

Pêndulo cônico com força elétrica Imagem13

A) 29,2 nC
B) 29,4 nC
C) 29,6 nC
D) 29,8 nC
E) 30,2 nC

por **Giovana Martins** Dom 16 Jun 2024, 02:16

Penso que seja isto.

\[\mathrm{Em\ y:\sum \overset{\to}{F}_y=\overset{\to }{0}\ \therefore\ Tsin(\alpha)=mg_{Ap}\ (i)}\]

\[\mathrm{Em\ x:Tcos(\alpha)-F_{E}=F_C\ (ii)\ \therefore\ De\ (i)\ e\ (ii):mg_{Ap}cot(\alpha )-\frac{k|q|^2}{R^2}=m\omega ^2R}\]

\[\mathrm{Pelo\ Principio\ da\ Equival\hat{e}ncia\ de\ Einstein,\ no\ referencial\ do\ elevador:g_{Ap}=a+g}\]

\[\mathrm{|q|=\sqrt{\frac{mR^2[(a+g)cot(\alpha)-\omega ^2R]}{k}}}\]

\[\mathrm{|q|=\sqrt{\frac{5\times 10^{-3}\times (0,02)^2\times [(2+10)\times cot(45^\circ{})-(20)^2\times 0,02]}{9\times 10^9}}\ \therefore\ \boxed{\mathrm{|q|\approx 29,8\ nC}}}\]

por Pupilo Dom 16 Jun 2024, 03:06

Giovana Martins escreveu:
Penso que seja isto.

\[\mathrm{Em\ y:\sum \overset{\to}{F}_y=\overset{\to }{0}\ \therefore\ Tsin(\alpha)=mg_{Ap}\ (i)}\]

\[\mathrm{Em\ x:Tcos(\alpha)-F_{E}=F_C\ (ii)\ \therefore\ De\ (i)\ e\ (ii):mg_{Ap}cot(\alpha )-\frac{k|q|^2}{R^2}=m\omega ^2R}\]

\[\mathrm{Pelo\ Principio\ da\ Equival\hat{e}ncia\ de\ Einstein,\ no\ referencial\ do\ elevador:g_{Ap}=a+g}\]

\[\mathrm{|q|=\sqrt{\frac{mR^2[(a+g)cot(\alpha)-\omega ^2R]}{k}}}\]

\[\mathrm{|q|=\sqrt{\frac{5\times 10^{-3}\times (0,02)^2\times [(2+10)\times cot(45^\circ{})-(20)^2\times 0,02]}{9\times 10^9}}\ \therefore\ \boxed{\mathrm{|q|\approx 29,8\ nC}}}\]

Obrigado pela ajuda Very Happy

por **Elcioschin** Dom 16 Jun 2024, 14:47

Uma pequena correção

Em y ---> T.cosα = m.g_AP

Em x ---> Tsenα - F_E = F_C

Na presente questão o resultado não foi alterado, já que sen45º = cos45º

por **Giovana Martins** Dom 16 Jun 2024, 15:13

Elcioschin escreveu:
Uma pequena correção

Em y ---> T.cosα = m.g_AP

Em x ---> Tsenα - F_E = F_C

Na presente questão o resultado não foi alterado, já que sen45º = cos45º

Bom dia, Mestre.

Na verdade eu só usei o ângulo inferior mesmo, já que se trata de um triângulo isósceles, por isso surgiu a cotangente. Pegando o ângulo inferior, que é igual ao superior, acaba ficando Tsin(a) = mgap.

Do jeito que o senhor fez, vai surgir uma tangente no lugar da cotangente.

por **Elcioschin** Dom 16 Jun 2024, 16:28

Giovana

Eu só comentei sobre as duas primeiras linhas:

O ângulo α é entre o fio e a vertical.
Assim, a componente de T no eixo y (vertical) vale Ty = T.cosα
E a componente no eixo x (horizontal) vale Tx = T.senα

por **Giovana Martins** Seg 17 Jun 2024, 12:24

Elcioschin escreveu:Giovana

Eu só comentei sobre as duas primeiras linhas:

O ângulo α é entre o fio e a vertical.
Assim, a componente de T no eixo y (vertical) vale Ty = T.cosα
E a componente no eixo x (horizontal) vale Tx = T.senα

Bom dia, mestre. Apenas para registrar como eu desenvolvi as forças: