(FGV) Função do terceiro grau com raízes complexas

(FGV-RJ)A figura mostra o gráfico da função f(x)=1+x-2x^3
a)Determine as soluções que não são números reais da equação f(x)=0 Gabarito: -1/2-i/2   e     1/2+i/2)

Utilizando o Teorema do Resto e o Teorema das Raízes Racionais:

Para \(-2x^3 + x + 1\), as possíveis raízes racionais será a divisão entre \( \pm \) os  divisores do termo independente (no caso, 1) sobre os divisores do coeficiente que acompanha a variável de maior grau (no caso, -2).

Chamarei de \(p\) os divisores do termo independente e de \(q\) os divisores do coeficiente que acompanha a variável de maior grau. Logo:
\[
p=\left \{ \pm 1 \right \} ,q=\left \{ \pm 1; \pm2 \right \}
\]

\[
\frac{p}{q}=\left \{ \pm 1, \pm \frac{1}{2} \ \right \}
\]

Vamos testar essas possíveis raízes substituindo-as na função para ver se resultam em zero:

Testando \( x = 1 \):
   \[
   -2(1)^3 + 1 + 1 = -2 + 1 + 1 = 0
   \]
Portanto, \( x = 1 \) é uma raiz da função.

Sabendo que \( x = 1 \) é uma raiz, então \( (x - 1) \) é um fator da função. Para encontrar os outros fatores, precisamos dividir \(-2x^3 + x + 1\) por \( (x - 1) \).

Utilizando a divisão sintética:.

\[
\begin{array}{r|rrrr}
1 & -2 & 0 & 1 & 1  \\
\hline
  & -2 & -2 & -1 & 0 \\
\end{array}
\]

1. Os coeficientes \(-2, 0, 1, 1\) são colocados na linha superior.
2. A raiz encontrada (no caso, \(1\)) é escrita à esquerda.
3. O primeiro coeficiente é copiado abaixo dele (no caso, \(-2\)).
4. Multiplica \(-2\) pela raiz e escreve o resultado sob o próximo coeficiente: \(-2 \times 1 = -2\).
5. A coluna é somada: \(0 + (-2) = -2\).
6. O processo é repetido: \(-2 \times 1 = -2\), somando com 1, dá \(-1\).
7. Finalmente, \(-1 \times 1 = -1\), somando com 1, dá 0 (resto).

Portanto, o resultado da divisão sintética é:

\[
-2x^2 - 2x - 1
\]

Com o polinômio reduzido, fica mais fácil de encontrar as outras raízes.

Utilizando a fórmula de Bhaskara:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Onde, \( a = -2 \), \( b = -2 \), \( c = -1 \):

\[
x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(-2)(-1)}}{2(-2)}
\]
\[
x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{-4}
\]
\[
x = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{-4}
\]
\[
x = \frac{2 \pm 2i}{-4}
\]
\[
x = \frac{1 \pm i}{-2}
\]
\[
x = -\frac{1}{2} \pm \frac{i}{2}
\]

Assim, as raízes são \( x = -\frac{1}{2} + \frac{i}{2} \) e \( x = -\frac{1}{2} - \frac{i}{2} \).

Outra solução, usando o Método dos Coeficientes a Determinar:

Pelo gráfico concluímos que x = 1 é uma raiz real desta equação (é o ponto onde o gráfico intercepta o eixo x)

- 2.x³ + 0.x² + 1.x + 1 = (x - 1).(a.x² + b.x + c)

- 2.x³ + 0.x² + 1.x + 1 = a.x³ + b.x² + c.x - a.x² - b.x - c

- 2.x³ + 0.x² + 1.x + 1 = a.x³ + (b - a).x² + (c - b).x - c

Igualando termos de mesmo grau nos dois lados da equação, temos:

a = - 2

b - a = 0 ---> b = a ---> b = - 2

c - b = 1 ---> c = b + 1 ---> c = - 2 + 1 --> c = - 1 

- c = 1 ---> c = - 1

Temos portanto, a.x² + b.x + c = 0 ---> - 2.x² - 2.x - 1 = 0

Temos agora uma simples equação do 2º grau, a mesma que o colega CaioRC chegou. Basta resolvê-la.

Obrigado!