Soma de raízes cúbicas e equação do terceiro grau

por Guilherme-Fernandes-1985 Qua 15 Fev 2023, 09:58

QUESTÃO DO COLÉGIO MILITAR DO RIO DE JANEIRO 2022/2023

Um dos desafios de quem estuda álgebra é operar com expressões que envolvem somas ou diferença de radicais. A técnica mais comum nessas situações é utilizar desenvolvimentos de produtos notáveis com o objetivo de eliminar as raízes. Entretanto, é comum que essa manipulação conduza não diretamente à solução, mas a uma equação polinomial.

Dessa forma, é possível concluir que o número [latex]x = \sqrt[3]{3 + \sqrt{17}} + \sqrt[3]{3 - \sqrt{17}}[/latex] é raiz da equação polinomial

(A) [latex]x^{3} + 3x + 3 = 0[/latex]
(B) [latex]x^{3} - 3x - 3 = 0[/latex]
(C) [latex]x^{3} + 6x - 6 = 0[/latex]
(D) [latex]x^{3} - 6x - 6 = 0[/latex]
(E) [latex]x^{3} + 6x + 6 = 0[/latex]

por **Elcioschin** Qua 15 Fev 2023, 10:11

x = a + b

Eleve ambos os membros da equação ao cubo:

(a + b)³ = a³ + 3.a².b + 3.a.b² + b³

(a + b)³ = a³ + b³ + 3.a.b.(a + b)

por Guilherme-Fernandes-1985 Qua 15 Fev 2023, 10:34

Muito obrigado, agora entendi.

por al171 Qua 15 Fev 2023, 11:18

\[
\begin{align*}
x & = \sqrt[3]{ 3 + \sqrt{17}} + \sqrt[3]{ 3 - \sqrt{17}}\\
x^3 & = 6 + 3 \sqrt[3]{3 + \sqrt{17}} \sqrt[3]{3 - \sqrt{17}} \cdot x \\
& = 6 + 3 \sqrt[3]{9 - 17} x \\
& = 6 -6x
\end{align*}
\]
Assim, \( x \) é raiz de
\[
x^3 + 6x - 6 = 0.
\]
\( \text{Resposta: (C)}\).