Atrito ITA/IME

por jonathan333 Sex 26 Abr 2024, 19:21

Um pequeno corpo A começa a deslizar a partir do vértice de uma cunha de base L. O coeficiente de atrito entre o corpo e a superfície da cunha é de µ=1/√3. Determine o valor de α para que o tempo de deslizamento seja o mínimo.

Atrito ITA/IME JqtwP8BuAR51ECBR8cAAAAASUVORK5CYII=

Atrito ITA/IME JqtwP8BuAR51ECBR8cAAAAASUVORK5CYII=

por **Giovana Martins** Sex 26 Abr 2024, 19:48

Penso que seja isto.

[latex]\mathrm{\sum \overset{\to}{F}_x\neq\overset{\to}{0}\ \therefore\ mgsin(\alpha )-F_{At}=mgsin(\alpha )-N\mu=ma\ (i)}[/latex]

[latex]\mathrm{\sum \overset{\to}{F}_y=\overset{\to}{0} \ \therefore\ N=mgcos(\alpha )\ (ii)\ \therefore\ gsin(\alpha )-g\mu cos(\alpha )=a\ (iii)}[/latex]

[latex]\mathrm{Dist\hat{a}ncia\ percorrida\ em\ x:cos(\alpha )=\frac{L}{d}\ \therefore\ d=\frac{L}{cos(\alpha )}\ (iv)}[/latex]

[latex]\mathrm{\cancelto{\mathrm{d}}{\mathrm{x(t)}}=\cancelto{0}{\mathrm{x_0}}+\cancelto{0}{\mathrm{v_0}}t+\frac{1}{2}at^2\to t=\sqrt{\frac{2d}{a}}\ (v)}[/latex]

[latex]\mathrm{De\ (iii), (iv)\ e\ (v):t=\sqrt{\frac{2L}{cos(\alpha )[gsin(\alpha )-g\mu cos(\alpha )]}}=\sqrt{\frac{2L}{f(\alpha )}}}[/latex]

[latex]\mathrm{Sendo\ f(\alpha )=gsin(\alpha )cos(\alpha )-g\mu cos^2(\alpha ):}[/latex]

[latex]\mathrm{\frac{df(\alpha )}{d\alpha }=-10sin^2(\alpha )+10cos^2(\alpha )+\frac{20}{\sqrt{3}}sin(\alpha )cos(\alpha )=0}[/latex]

[latex]\mathrm{Manipulando\ a\ igualdade: \sqrt{3}sin(2\alpha )+3cos(2\alpha )=0\ \therefore\ \alpha =\frac{\pi}{3}\ \therefore\ t_{min}=\sqrt{\frac{2L\sqrt{3}}{5}}\ s}[/latex]

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