Radiação

Vejam esta questão:

(Fuvest) f:R--->R associa a x o número 1/1+x^2. Quanto vale f (raiz quarta de 7)?

a) 1-V7
b) V7-1/6
c)V7-1/8
d)1/1- V7/7
e)0,0714285

* V7 significa raiz quadrada de 7
Perdoe-me por não utilizar os símbolos adequados para as raízes... Sou iniciante no Fórum e ainda não sei usar todas as ferramentas. Muito obrigado pela compreensão.

Olá. Acredito que sua função f seja do tipo:
[latex]f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}[/latex]
Sendo assim, se substituirmos x= raíz quarta de 7, temos:
[latex]f(\sqrt[4]{7})=\frac{1}{1+(\sqrt[4]{7})^{2}}[/latex]
Quando temos a potencial de um fator de radiciação fazemos a divisão desses termos. Assim, como raíz a quarta funciona como duas raízes quadradas, a raíz quarta ao quadrado é igual a uma raíz quadrada:
[latex]f(\sqrt[4]{7})=\frac{1}{1+\sqrt{7}}[/latex]
Precisamos agora manipular essa expressão para tirarmos a raíz do denominador e levá-la ao numerador. Tecnicas para fazer isso são adquiridas com o tempo de estudo e de acordo com a quantidade de problemas semelhantes que você resolve. Com o tempo você percebe que as tecnicas aplicadas são sempre as mesmas para um determinado fim. Nesse caso, como temos um termo com uma soma no denominador, costuma-se multiplicar a fração por 1, o que não vai alterar o seu valor. No entanto, esse 1 será expresso como uma fração onde numerador e denominador são iguais (já que um numero dividido por ele mesmo resulta 1), e, para esse caso, escolhemos convenientemente 1-raíz de 7. Assim poderemos utilizar o produto notavel da soma pela diferença no denominador (o que fará a raíz sumir, pois aparecerá o quadrado do termo raíz):
[latex]f(\sqrt[4]{7})=\frac{1}{1+\sqrt{7}}\frac{(1-\sqrt{7})}{(1-\sqrt{7})}[/latex]
Deve-se lembrar agora da propriedade do produto notável:
[latex](a+b).(a-b)=(a^{2}-b^{2})[/latex]
Assim:
[latex]f(\sqrt[4]{7})=\frac{1-\sqrt{7}}{1-7}[/latex]
Isso leva a:
[latex]f(\sqrt[4]{7})=\frac{1-\sqrt{7}}{-6}[/latex]
Podemos estão colocar o sinal negativo no numerador da fração, o que vai inverter o sinal dos termos, e fica:
[latex]f(\sqrt[4]{7})=\frac{\sqrt{7}-1}{6}[/latex]

BRAVÍSSIMO, j.felipe... É verdade... A racionalização do denominador multiplicando a fração pelo seu conjugado resulta em uma diferença de quadrados... Estava tentando fazer assi: 1/1+x^2 = x; e sempre caia numa equacão do terceiro grau, porém sem chegar a qualquer resultado... Não poderia ser feito desta forma, né...?!

Eu acredito que não, pois o problema consiste em encontrar o valor para um determinado x. Acredito que se fosse o caso de encontrar raízes para uma determinada equação o caminho de resolução seria semelhante a essa técnica que vocẽ tentava aplicar