Cinemática escalar

Um automóvel percorre a metade de um trecho de estrada com velocidade v1. A segunda metade do trecho, ele percorre da seguinte forma: metade do tempo restante com velocidade v2 e a outra metade do tempo com v3. Qual a velocidade média do automóvel em todo o trecho?

a) 2v1^2 + v2.v3
    -----------------
     v1 + v2 + v3

b)    v1^2
    ----------
    2(v2+v3)

c)    v1(v2+v3)
    ----------------
     v1 + v2 + v3

d) 2v1( v2 + v2 )
   ------------------ 
    2v1 + v2 + v3

Olá! Temos a combinação de duas condições especiais para problemas de velocidade média nesse problema: a velocidade média quando a distancia é a mesma entre dois trechos, e a velocidade média quando o tempo é o mesmo entre dois trechos. Caso você conheça as equações a serem utilizadas nos dois casos, basta aplicá-las. Caso não conheça elas, vou te ajudar a deduzi-las aqui.
Comece imaginando que um móvel percorre um trecho A de distância S com velocidade Va, e, em seguida, percorre um trecho B também de distância S com velocidade Vb. A pergunta é: qual a velocidade média desse móvel em todo o trecho?
Logicamente o deslocamento total do móvel é de S+S=2S. Enquanto o tempo que ele demora para percorrer tudo isso é dado pela soma entre o tempo que ele demora pra percorrer o trecho A (ta) e o tempo que ele demora pra percorrer o trecho B (tb). Logo, o tempo total que ele demora pra percorrer todo o trajeto é ta+tb. Assim, a velocidade média é dada por:
[latex]Vm=\frac{\Delta S}{\Delta t}[/latex]
[latex]Vm=\frac{2S}{t_{a}+t_{b}}[/latex]
Vamos agora colocar S em evidência no denominador da fração:
[latex]Vm=\frac{2S}{S(\frac{t_{a}}{S}+\frac{t_{b}}{S})}[/latex]
Não sei se você já chegou a ver esse tipo de procedimento em alguma resolução de problema de matemática, mas isso é frequentemente usado. À primeira vista é estranho imaginar que colocamos em evidencia um termo que inicialmente nem estava na expressão. No entanto, caso isso tenha deixado você curioso, peço que faça o procedimento inverso, realizando a distributiva de S no denominador, e verá que isso resultará na mesma expressão que tinhamos linhas acima, pois S da distributiva ira cancelar S dos denominadores de ta e tb. Como conseguimos recuperar a mesma equação que tinhamos anteriormente, isso quer dizer que nao alteramos nada na expressão, apenas estamos escrevendo ela de uma forma diferente.
Dito isso, perceba agora que, como v=s/t, então t/s=1/v (apenas invertemos denominador e numerador nas frações). Assim, ta/S=1/Va, o que vale tambem para tb. Então:
[latex]Vm=\frac{2S}{S(\frac{1}{V_{a}}+\frac{1}{V_{b}})}[/latex]
Podemos cancelar S no denominador e no numerador da fração e obter:
[latex]Vm=\frac{2}{\frac{1}{V_{a}}+\frac{1}{V_{b}}}[/latex]
Vamos agora juntar as frações do denominador. Acredito que esse processo vocẽ ja deve conhecer. No entanto, caso tenha dúvidas, é só perguntar:
[latex]Vm=\frac{2}{\frac{V_{a}+V_{b}}{V_{a}V_{b}}}[/latex]
Que fica, então, fazendo a divisão de frações:
[latex]Vm=\frac{2V_{a}V_{b}}{V_{a}+V_{b}}[/latex]
Portanto, usamos essa expressão quando o movimento ocorre em dois trechos de comprimento igual.

Para trechos de tempo igual a dedução da equação é um pouco mais simples: Imagine que um móvel percorre um trecho A de distância Sa em um tempo t, e depois percorre um trecho B de distância Sb também em t segundos. Assim, ao final, ele percorreu uma distância total de Sa+Sb em um tempo 2t. Logo, sua velocidade média é:
[latex]Vm=\frac{\Delta S}{\Delta t}[/latex]
[latex]Vm=\frac{S_{a}+S_{b}}{2t}[/latex]
Aqui basta dividir simplesmente em duas frações, e temos:
[latex]Vm=\frac{S_{a}}{2t}+\frac{S_{b}}{2t}[/latex]
Como Sa/t=Va e Sb/t=Vb, temos:
[latex]Vm=\frac{1}{2}(V_{a}+V_{b})[/latex]

Estamos agora prontos para partir para o problema. Iniciamos com o trecho de velocidade igual. Vamos pensar nele separadamente. A velocidade média no trecho 2 e 3 pode ser determinada utilizando a segunda equação que deduzimos. Assim:
[latex]V_{2,3}=\frac{1}{2}(V_{2}+V_{3})[/latex]
Pense agora que os trechos dois e 3 formam um unico trecho de comprimento igual ao trecho 1. Se têm comprimentos iguais podemos utilizar a primeira equação que encontramos. Assim, a velocidade média fica:
[latex]Vm=\frac{2V_{1}V_{2,3}}{V_{a}+V_{2,3}}[/latex]
No entanto, já encontramos o valor da velocidade média entre os trechos 2 e 3, e podemos substituí-la aqui, ficando com:
[latex]Vm=\frac{2V_{1}\frac{1}{2}(V_{2}+V_{3})}{V_{a}+\frac{1}{2}(V_{2}+V_{3})}[/latex]
Logo:
[latex]Vm=\frac{V_{1}(V_{2}+V_{3})}{V_{a}+\frac{1}{2}(V_{2}+V_{3})}[/latex]
Podemos agora multiplicar a equação por 2 no numerado e no denominador (para que a fração do denominador desapareça). E temos a velocidade média final:
[latex]Vm=\frac{2V_{1}(V_{2}+V_{3})}{2V_{a}+V_{2}+V_{3}}[/latex]

Que provavelmente é o resultado da ultima opção, caso voce tenha digitado sem querer v2 ao invés de v3