Determinantes, Log e Trigonometria.

Para que o determinante seja nulo, x real, 4x deve ser: 


a) 36
b) 18 (X)
c) 6
d) 12 
e) 16

Desde já, eu agradeço. Pedoem-me pela qualidade da imagem.

Boa tarde Kaka, creio que a melhor maneira de resolver este problema seja pensando nas propriedades que tornam o determinante nulo, como uma forma de contornar contas grandes. Eu pensei assim:
I) Alguma fila ser nula: Devido as constantes que já estão no determinante, esta possibilidade não ocorre, a princípio;
II) Filas iguais: Por conta da limitação dos valores entre -1 e 1 das funções seno e cosseno, isto também não ocorre com a matriz na forma que está no enunciado;
III) Vamos tentar manipular o determinante: Perceba que se somarmos a primeira coluna com a terceira ocorre o seguinte(teorema de Jacob):
[latex] \begin{vmatrix} 3 & 1  & -2  \\ sen^2x & 1 & cos^2x \\  log_3x& 2 & log_32  \end{vmatrix} \overset{C_3=C_1 + C_3}{\rightarrow} \begin{vmatrix} 3 & 1  & -2 +3\\ sen^2x & 1 & cos^2x +sen^2x\\  log_3x& 2 & log_32+log_3x  \end{vmatrix} =  \begin{vmatrix} 3 & 1  & 1\\ sen^2x & 1 & 1\\  log_3x& 2 & log_3(2x)  \end{vmatrix} [/latex]
Ou seja, se log na base 3 de 2x for igual a 2, o determinante será nulo, pois terão duas colunas iguais:
[latex] log_3(2x) = 2 \rightarrow 2x = 3^2\rightarrow x = \frac{9}{2} \therefore 4x=18 [/latex]
Portanto, com x = 9/2 a coluna 2 é uma combinação linear das colunas 1 e 3, por isso o determinante fica nulo.

Excelente!