Soma de raízes cúbicas
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Serg.io- Recebeu o sabre de luz
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Idade : 19
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Re: Soma de raízes cúbicas
Confira os cálculos.
\\x=\underset{a}{\underbrace{\sqrt[3]{5+2\sqrt{13}}}}+\underset{b}{\underbrace{\sqrt[3]{5-2\sqrt{13}}}}\\\\(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)=a^3+b^3+3abx\\\\x^3=5+2\sqrt{13}+5-2\sqrt{13}+3x\sqrt[3]{\left ( 5+2\sqrt{13} \right )\left ( 5-2\sqrt{13} \right )}\\\\x^3=10-9x\to x^3+9x-10=0\to \boxed {x=1}\ \vee\ \cancel {x=-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{39}}{2}i}\\\\
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Giovana Martins- Grande Mestre
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Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 23
Localização : São Paulo
Re: Soma de raízes cúbicas
oi
faz x=a+b
y=-a
z=-b
a e b são aqueles termos ^(1/3)
fatoração x^3+y^3+z^3 -3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)
assim:
x^3-10+9x=0
a unica raiz real é 1
faz x=a+b
y=-a
z=-b
a e b são aqueles termos ^(1/3)
fatoração x^3+y^3+z^3 -3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)
assim:
x^3-10+9x=0
a unica raiz real é 1
isso_ai_po- Padawan
- Mensagens : 52
Data de inscrição : 29/01/2019
Idade : 24
Localização : Brasil
Re: Soma de raízes cúbicas
Duas demonstrações para a fatoração x³+y³+z³-3xyz=(x+y+z)(x²+y²+z²-xy-xz-yz).
Primeira demonstração: usando Determinantes.
Adicionando a segunda e terceira linhas à primeira linha da matriz:
Segunda demonstração: usando Polinômios Simétricos.
Por definição, tem-se as funções simétricas elementares (neste caso, para três variáveis).
Desenvolvendo os cálculos a partir das funções simétricas elementares:
Nota¹: infelizmente eu não poderei dar os créditos para quem desenvolveu a primeira demonstração, porque eu não lembro onde eu aprendi isso.
Nota²: a segunda demonstração você encontra no livro (não lembro em qual página) "Tópicos de Matemática: IME-ITA-Olimpíadas" dos autores Carlos A. Gomes e José Maria Gomes.
Primeira demonstração: usando Determinantes.
Adicionando a segunda e terceira linhas à primeira linha da matriz:
Segunda demonstração: usando Polinômios Simétricos.
Por definição, tem-se as funções simétricas elementares (neste caso, para três variáveis).
Desenvolvendo os cálculos a partir das funções simétricas elementares:
Nota¹: infelizmente eu não poderei dar os créditos para quem desenvolveu a primeira demonstração, porque eu não lembro onde eu aprendi isso.
Nota²: a segunda demonstração você encontra no livro (não lembro em qual página) "Tópicos de Matemática: IME-ITA-Olimpíadas" dos autores Carlos A. Gomes e José Maria Gomes.
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Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 7513
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 23
Localização : São Paulo
Re: Soma de raízes cúbicas
oi
eu aprendi essa fatoração no livro do titio andrescu "Mathematical olympiad treasures".
lá tinha essa demonstração por determinante, mas nao vi nenhum crédito.
valeu
eu aprendi essa fatoração no livro do titio andrescu "Mathematical olympiad treasures".
lá tinha essa demonstração por determinante, mas nao vi nenhum crédito.
valeu
isso_ai_po- Padawan
- Mensagens : 52
Data de inscrição : 29/01/2019
Idade : 24
Localização : Brasil
Re: Soma de raízes cúbicas
Terceira demonstração:
No finalzinho tem um ab a mais, na realidade é bc.
No finalzinho tem um ab a mais, na realidade é bc.
Leo Consoli- Fera
- Mensagens : 383
Data de inscrição : 03/08/2017
Idade : 23
Localização : Salvador, Bahia, Brasil
Re: Soma de raízes cúbicas
Há um tópico com algumas demonstrações da Identidade de Gaus aqui no fórum
https://pir2.forumeiros.com/t32409-demonstracao-de-uma-fatoracao-importante
https://pir2.forumeiros.com/t32409-demonstracao-de-uma-fatoracao-importante
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Mateus Meireles- Matador
- Mensagens : 763
Data de inscrição : 14/07/2018
Idade : 27
Localização : Fortaleza/CE
Re: Soma de raízes cúbicas
"eu aprendi essa fatoração no livro do titio andrescu "Mathematical olympiad treasures".
lá tinha essa demonstração por determinante, mas nao vi nenhum crédito."
Eu lembro que eu vi isso em alguma revistinha online, mas não lembro qual. Deve ter sido no Eureka.
Obrigada por adicionar mais uma demonstração, Leo.
lá tinha essa demonstração por determinante, mas nao vi nenhum crédito."
Eu lembro que eu vi isso em alguma revistinha online, mas não lembro qual. Deve ter sido no Eureka.
Obrigada por adicionar mais uma demonstração, Leo.
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Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 7513
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 23
Localização : São Paulo
Re: Soma de raízes cúbicas
Obrigada, Matheus. Nunca tinha visto essa postagem por aqui.
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Giovana Martins- Grande Mestre
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Data de inscrição : 15/05/2015
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