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Soma de raízes cúbicas

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Soma de raízes cúbicas Empty Soma de raízes cúbicas

Mensagem por Serg.io Sex 18 Jan 2019, 20:28

A soma (5 + 2 sqrt(13))^(1/3) + (5 - 2 sqrt(13))^(1/3) é igual a :

a) 3/2
b) raiz cúbica de 65
c) (1+raiz sexta de 13) /2
d)raiz cúbica de 2
e) 1
Soma de raízes cúbicas 20190111

Gabarito e)
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Soma de raízes cúbicas Empty Re: Soma de raízes cúbicas

Mensagem por Giovana Martins Sex 18 Jan 2019, 20:44

Confira os cálculos.

\\x=\underset{a}{\underbrace{\sqrt[3]{5+2\sqrt{13}}}}+\underset{b}{\underbrace{\sqrt[3]{5-2\sqrt{13}}}}\\\\(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)=a^3+b^3+3abx\\\\x^3=5+2\sqrt{13}+5-2\sqrt{13}+3x\sqrt[3]{\left ( 5+2\sqrt{13} \right )\left ( 5-2\sqrt{13} \right )}\\\\x^3=10-9x\to x^3+9x-10=0\to \boxed {x=1}\ \vee\ \cancel {x=-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{39}}{2}i}\\\\

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Soma de raízes cúbicas Empty Re: Soma de raízes cúbicas

Mensagem por isso_ai_po Qua 30 Jan 2019, 04:32

oi

faz x=a+b
     y=-a
     z=-b
a e b são aqueles termos ^(1/3)
fatoração x^3+y^3+z^3 -3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)

assim:
x^3-10+9x=0
a unica raiz real é 1

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Mensagem por Giovana Martins Qua 30 Jan 2019, 12:56

Duas demonstrações para a fatoração x³+y³+z³-3xyz=(x+y+z)(x²+y²+z²-xy-xz-yz).

Primeira demonstração: usando Determinantes.

Soma de raízes cúbicas Codeco87

Adicionando a segunda e terceira linhas à primeira linha da matriz:

Soma de raízes cúbicas Codeco88

Segunda demonstração: usando Polinômios Simétricos.

Por definição, tem-se as funções simétricas elementares (neste caso, para três variáveis).

Soma de raízes cúbicas Codeco89

Desenvolvendo os cálculos a partir das funções simétricas elementares:

Soma de raízes cúbicas Codeco91

Nota¹: infelizmente eu não poderei dar os créditos para quem desenvolveu a primeira demonstração, porque eu não lembro onde eu aprendi isso.

Nota²: a segunda demonstração você encontra no livro (não lembro em qual página) "Tópicos de Matemática: IME-ITA-Olimpíadas" dos autores Carlos A. Gomes e José Maria Gomes.

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Mensagem por isso_ai_po Qua 30 Jan 2019, 13:05

oi

eu aprendi essa fatoração no livro do titio andrescu "Mathematical olympiad treasures".
lá tinha essa demonstração por determinante, mas nao vi nenhum crédito.

valeu

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Mensagem por Leo Consoli Qua 30 Jan 2019, 13:06

Terceira demonstração:
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No finalzinho tem um ab a mais, na realidade é bc.
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Soma de raízes cúbicas Empty Re: Soma de raízes cúbicas

Mensagem por Mateus Meireles Qua 30 Jan 2019, 13:26

Há um tópico com algumas demonstrações da Identidade de Gaus aqui no fórum

https://pir2.forumeiros.com/t32409-demonstracao-de-uma-fatoracao-importante

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Soma de raízes cúbicas Empty Re: Soma de raízes cúbicas

Mensagem por Giovana Martins Qua 30 Jan 2019, 13:33

"eu aprendi essa fatoração no livro do titio andrescu "Mathematical olympiad treasures".
lá tinha essa demonstração por determinante, mas nao vi nenhum crédito."

Eu lembro que eu vi isso em alguma revistinha online, mas não lembro qual. Deve ter sido no Eureka.

Obrigada por adicionar mais uma demonstração, Leo.

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Soma de raízes cúbicas Empty Re: Soma de raízes cúbicas

Mensagem por Giovana Martins Qua 30 Jan 2019, 13:35

Obrigada, Matheus. Nunca tinha visto essa postagem por aqui.

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