Calcule a base - Logaritmos

Bom dia prezados usuários do Pir²!

Calcule a base de um sistema logarítmico, onde o logaritmo é [latex]\frac{1}{2}[/latex] e o antilogaritmo é [latex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/latex]. Utilize a relação a seguir para resolver o problema:

[latex]log_{a}\,b=c\Leftrightarrow antilog_{a}\,c=b[/latex]

Certo de sua atenção,

Pietro di Bernadone

[latex]b = a^c \implies a^{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt2}{2}\\
\therefore a = \frac{1}{2}[/latex]

Seja b a base. Temos:

\(\displaystyle \log_b x = \dfrac 12 \implies b^{1/2} = x \implies b = x^2\)

\(\displaystyle \textrm{antilog}_b \, x = \dfrac{\sqrt 2}{2} \implies b^x  = \dfrac{\sqrt 2}2 = 2^{-1/2}\)

Substituindo a primeira na segunda obtemos \( x^x = 2^{-1/4}\). Fazendo \(x = 2^a\) segue que

\(a 2^a = - 1/4 \)

Uma solução pra equação acima é a = -4, que implica \(x = 2^{-4}\) e \(b = 2^{-8}\)

Porém não é a única. De fato, a função \(f(t) = t\cdot 2^t\) tem um mínimo em \(t = -\dfrac 1 {\ln 2}\), é crescente para \(t > - \dfrac 1{\ln 2}\) e decrescente caso contrário. O valor mínimo é \( - \dfrac 1{ e \ln 2} \approx -0,53\).  Além disso, f(0) = 0 e f tende a 0 quando \(t \to - \infty\). Isso implica que existem duas soluções para a equação acima, uma delas sendo a = -4 e a outra está entre 0 e \( - \dfrac 1{\ln 2}\).

Portanto, existem duas respostas possíveis, sendo uma delas igual a \(b = 2^{-8}\). A outra eu acho que não pode ser expressa em termos de funções elementares, mas não sei como provar esse tipo de resultado. Dá pra expressar em termos da função de Lambert (a inversa de \( t e^t\)).

DaoSeek escreveu:Seja b a base. Temos:

\(\displaystyle \log_b x = \dfrac 12 \implies b^{1/2} = x \implies b = x^2\)

\(\displaystyle \textrm{antilog}_b \, x = \dfrac{\sqrt 2}{2} \implies b^x  = \dfrac{\sqrt 2}2 = 2^{-1/2}\)

Substituindo a primeira na segunda obtemos \( x^x = 2^{-1/4}\). Fazendo \(x = 2^a\) segue que

\(a 2^a = - 1/4 \)

Uma solução pra equação acima é a = -4, que implica \(x = 2^{-4}\) e \(b = 2^{-8}\)

Porém não é a única. De fato, a função \(f(t) = t\cdot 2^t\) tem um mínimo em \(t = -\dfrac 1 {\ln 2}\), é crescente para \(t > - \dfrac 1{\ln 2}\) e decrescente caso contrário. O valor mínimo é \( - \dfrac 1{ e \ln 2} \approx -0,53\).  Além disso, f(0) = 0 e f tende a 0 quando \(t \to - \infty\). Isso implica que existem duas soluções para a equação acima, uma delas sendo a = -4 e a outra está entre 0 e \( - \dfrac 1{\ln 2}\).

Portanto, existem duas respostas possíveis, sendo uma delas igual a \(b = 2^{-8}\). A outra eu acho que não pode ser expressa em termos de funções elementares, mas não sei como provar esse tipo de resultado. Dá pra expressar em termos da função de Lambert (a inversa de \( t e^t\)).

Utilizando a relação dada no seu desenvolvimento x já foi dado e vale 1/2

Você está utilizando log(x) e antilog(x) e pelo enunciado os logaritmandos são diferentes:
log(b) e antilog(c) que seriam log( √ 2/2) e antilog(1/2)


[latex]\\log_\frac{1}{2}(\frac{\sqrt2}{2}) = -log_2\frac{\sqrt2}{2} = -(log_22^{-\frac{1}{2}})=\\ \frac{1}{2} \checkmark\\ antilog_ \frac{1}{2}(\frac{1}{2})=x \implies (\frac{1}{2})^\frac{1}{2}=x\\ x = \frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2} \checkmark [/latex]

petras escreveu:

Você está utilizando log(x) e antilog(x) e pelo enunciado os logaritmandos são diferentes

Por quê?

O enunciado realmente ficou confuso pra mim em vários trechos. "sistema logarítmico" quer dizer o que?

Quando li "O logaritmo é x e o antilogaritmo é y" eu havia pensado em algo da forma
log_b z = x
antilog_b z = y

não é claro pra mim por que não poderia ser isso, mas pelo que entendi da sua resposta a interpretação correta é
log_b y = x
antilog_b x = y

Isso é uma terminologia usual pra esse tipo de problema? Pelo enunciado eu não sei dizer, eu nunca vi nada sobre antilogaritmos (alem de ser um outro nome pra exponencial)

DaoSeek escreveu:

petras escreveu:

Você está utilizando log(x) e antilog(x) e pelo enunciado os logaritmandos são diferentes

Por quê?

O enunciado realmente ficou confuso pra mim em vários trechos. "sistema logarítmico" quer dizer o que?

Quando li "O logaritmo é x e o antilogaritmo é y" eu havia pensado em algo da forma
log_b z = x
antilog_b z = y

não é claro pra mim por que não poderia ser isso, mas pelo que entendi da sua resposta a interpretação correta é
log_b y = x
antilog_b x = y

Isso é uma terminologia usual pra esse tipo de problema? Pelo enunciado eu não sei dizer, eu nunca vi nada sobre antilogaritmos (alem de ser um outro nome pra exponencial)

não é claro pra mim por que não poderia ser isso, mas pelo que entendi da sua resposta a interpretação correta é
log_b y = x
antilog_b x = y


Exatamente isso..como foi dada pelo proprio enunciado que é nada menos que a definição de antilogaritmo

Definição de antilogarítmo:
Sendo a e b números reais positivos (a>0,a≠1 e b>0), se o logaritmo de b na base a é c, então b é o antilogaritmo de c na base a. Assim: