Logarítmos - Mudança de Base

Sabendo que Log(20)2=a e Log(20)3=b,calcule, em função de a e b o valor de Log(12)25

os números em parênteses (...) representam a base do logarítmo, infelizmente meu Latex não está funcionando, me desculpem.

Gabarito: (2-4a)/(2a+b)

log2(20) = 1/a e log3(20) = 1/b
Daí, log2(10) + 2 = 1/a => log2(10) = (1-a)/a  <=> log(2) = a/(1-a)
--> log(5) = log(10/2) = 1 - log(2) = 1 - a/(1-a) = (1-2a)/(1-a)
log3(20) = log3(2) + log3(10) = log(2)/log(3) + 1/log(3) = 1/b <=> log(3) = ab/(1-a)
log12(25) = log(25)/log(12) = 2log(5)/(2log(2) + log(3)) = 2((1-2a)/(1-a))/(2a/(1-a) + ab/(1-a)) = (2-4a)/(2a+ab)
Não sei se você escreveu errado ou não o gabarito, mas é isso

Lipo_f escreveu:log2(20) = 1/a e log3(20) = 1/b
Daí, log2(10) + 2 = 1/a => log2(10) = (1-a)/a  <=> log(2) = a/(1-a)
--> log(5) = log(10/2) = 1 - log(2) = 1 - a/(1-a) = (1-2a)/(1-a)
log3(20) = log3(2) + log3(10) = log(2)/log(3) + 1/log(3) = 1/b <=> log(3) = ab/(1-a)
log12(25) = log(25)/log(12) = 2log(5)/(2log(2) + log(3)) = 2((1-2a)/(1-a))/(2a/(1-a) + ab/(1-a)) = (2-4a)/(2a+ab)
Não sei se você escreveu errado ou não o gabarito, mas é isso

O gabarito é esse ai é mesmo que consta no livro.

Eu acho que a  @Giovana Martins que é especialista nesses negocios de álgebra. vamos ver se alguém tem alguma outra solução pra propor

Queremos calcular x = log₁₂(25)

Mudando pra base 20 temos \( x = \dfrac{ \log_{20} 25}{ \log_{20} 12} \)


Calculando log₂₀(25)

Observamos que \( 25 = \dfrac{25 \cdot 16}{16} = \dfrac{20^2}{2^4}\). Portanto:

\(\log_{20} 25 = \log_{20} \dfrac{20^2}{2^4} = \log_{20} 20^2 - \log_{20} 2^4 = 2 - 4a\)


Calculando log₂₀(12)

Observamos que 12 = 2².3. Portanto:

\(\log_{20} 12 = \log_{20} 2^2 \cdot 3 = \log_{20} 2^2 + \log_{20} 3 = 2a+b\)



Assim:

\(x = \dfrac{ \log_{20} 25}{ \log_{20} 12} = \dfrac{2-4a}{2a+b}\)

DaoSeek escreveu:Queremos calcular x = log₁₂(25)

Mudando pra base 20 temos \( x = \dfrac{ \log_{20} 25}{ \log_{20} 12} \)


Calculando log₂₀(25)

Observamos que \( 25 = \dfrac{25 \cdot 16}{16} = \dfrac{20^2}{2^4}\). Portanto:

\(\log_{20} 25 = \log_{20} \dfrac{20^2}{2^4} = \log_{20} 20^2 - \log_{20} 2^4 = 2 - 4a\)


Calculando log₂₀(12)

Observamos que 12 = 2².3. Portanto:

\(\log_{20} 12 = \log_{20} 2^2 \cdot 3 = \log_{20} 2^2 + \log_{20} 3 = 2a+b\)



Assim:

\(x = \dfrac{ \log_{20} 25}{ \log_{20} 12} = \dfrac{2-4a}{2a+b}\)

resolução show de bola. Tudo bem explicando em Latex. do jeito que eu gosto kkkkk. Eu fiz algo semelhante também, mas nunca que eu iria sacar que 25= 20²/4². Vlw mesmo

Lipo_f escreveu:log2(20) = 1/a e log3(20) = 1/b
Daí, log2(10) + 2 = 1/a => log2(10) = (1-a)/a  <=> log(2) = a/(1-a)
--> log(5) = log(10/2) = 1 - log(2) = 1 - a/(1-a) = (1-2a)/(1-a)
log3(20) = log3(2) + log3(10) = log(2)/log(3) + 1/log(3) = 1/b <=> log(3) = ab/(1-a)
log12(25) = log(25)/log(12) = 2log(5)/(2log(2) + log(3)) = 2((1-2a)/(1-a))/(2a/(1-a) + ab/(1-a)) = (2-4a)/(2a+ab)
Não sei se você escreveu errado ou não o gabarito, mas é isso

Sobre essa solução podre que eu fiz, de fato log(2) = a/(1-a) e log(5) = (1-2a)/(1-a), então (log(2) + 1)b = log(3) (me esqueci de somar 1) => log(3) = (a/(1-a) + 1)b = b/(1-a)
Seguindo que:

[latex]\log_{12} 25 = \dfrac{2\log(5)}{2\log(2) + \log(3)} = \dfrac{2\dfrac{1-2a}{1-a}}{2\dfrac{a}{1-a} + \dfrac{b}{1-a}} = \dfrac{2-4a}{2a + b}[/latex]

Douglas01 escreveu:Eu fiz algo semelhante também, mas nunca que eu iria sacar que 25= 20²/4².

É porque você não percebeu o que tinha que procurar. Quando é conhecido o logaritmo em uma base "b" de um número "x", podemos calcular o logaritmo de qualquer número da forma \( x^\alpha\), pela propriedade dos logaritmos:

\( \log_b x^\alpha = \alpha \log_b x\)

O que passa despercebido é que  também podemos calcular os logaritmos dos números da forma  \(x^\alpha \cdot b^\beta\):

\( \log_b x^\alpha b^\beta =  \log_b x^\alpha + \log_b b^\beta = \alpha \log_b x + \beta\)

Pro caso da sua questão em específico, conhecemos \(\log_{20}2\) e \(\log_{20}3\). Isso significa que podemos calcular o logaritmo de qualquer número da forma  \(2^\alpha \cdot 3^\beta \cdot 20^\gamma\):

\(\log_{20}2^\alpha \cdot 3^\beta \cdot 20^\gamma = \alpha \log_{20}2 + \beta\log_{20}3 + \gamma\)

Ou seja, temos que escrever 25 na forma \(2^\alpha \cdot 3^\beta \cdot 20^\gamma\). Sabendo disso fica fácil encontrar a resposta: \(25 = 5^2 = \left(\dfrac{20}{2^2}\right)^2 =  2^{-4}\cdot 20^2\)


Esse tipo de questão em geral pode ser resolvida em qualquer base. Tente comparar as contas da base 20 que fiz com a base 10 que o Lipo_f fez por exemplo. E depois escolha outra e veja o que acontece.