Operações Algébricas - Produtos Notáveis

Elementos da Matemática, Vol. 0
Capítulo 6. Operações Algébricas
Exercícios Propostos: Produtos Notáveis
51) (Stanford Tournament-08) Simplifique  [/latex]\sqrt[3]{\frac{17\sqrt{7}+45}{4}}[/latex].

Solução:
[/latex]\frac{3+\sqrt{7}}{2}[/latex].

Utilizariam qual raciocínio para resolver essa questão?

o que eu começaria fazendo

eu nao vou mentir, tu tem que forçar um negócio ai de elevado ao cubo correto ?

primeiro multiplicaria em cima e embaixo por 2, pra ficar 8 em baixo e ja nao me preocupar mais pq 8 = 2*2*2

show

então temos em cima 34V7 + 90 (correto ? com a multiplicação por 2)

show 

esse 7 ai vai ter que ter um (bV7)^3, onde b é inteiro e temos tb um valor inteiro ao cubo (a)^3

de tal forma que a^3 + 7b^3V7 + 3a^2bV7 + 3ab^2*7

que é o produto notavel de (a+bV7)^3

agora temos que igualar as coisas

a^3 + 21ab^2 = 90
7b^3V7 + 3a^2bV7 = 34V7

entao 
a^3 + 21ab^2 = 90
7b^3 + 3a^2b = 34

a(a^2 + 21b^2) = 90 = 2.5.3.3
b(7b^2 + 3a^2) = 34 = 2.17

pela segunda equação, b deve ser inteiro
b = 2 e 7b^2 + 3a^2 = 17 ou o contrario

vamos fazer pros três casos

se b = 2
7(2)^2 + 3a^2 = 17 ----> 28 + 3a^2 = 17
absurdo vai dar a^2 negativo

se b = 17 
7.17 + 3a^2 = 2
absurdo pq vai ter a^2 negativo

se b = 1 e 7(b)^2 + 3a^2 = 34 
3a^2 = 27 ---> a^2 = 9 ----> a = 3 ou a = -3

ai joga as duas condições de a na primeira equação e ve qual satisfaz

deixa eu jogar a -3 

a primeira equação é: a^3 + 21ab^2 = 90
(-3)^3 + 21(-3)(1)^2 = 90
-27 - 63 = 90 absurdo

para 3 da certo 
fica 27 + 63 = 90

∛[(17.√7 + 45)/4] = a + b.√7 ---> Elevando a equação ao cubo: 

(17.√7 + 45)/4 = a³ + 3.a².(b.√7)¹ + 3.a.(b.√7)² + (b.√7)³

(17.√7 + 45)/4 = a³ + 21.a.b² + (3.a².b).√7 + (7.b³).√7 --->*4

17.√7 + 45 = (12.a².b + 28.b³).√7 + (4.a³ + 84.a.b²)

Igualando termos racionais e irracionais:

4.a³ + 84.a.b = 45 ---> I

12.a².b + 28.b³ = 17 --> II

Tente resolver o sistema, para achar a = 3/2 e b = 1/2

Muito obrigado, pessoal!