Soma de todas as soluções da equação trigonométrica.

por Lucas Schokal Seg 17 Jun 2024, 00:04

A soma de todas as soluções da equação trigonométrica sen(5x)-sen(3x)=-7[sen(x)cos^2(x)] no intervalo [0,2π]é:

GABARITO: 4π

Fiz usando Prostaférese, chegando em cos(x) = [latex]\pm \frac{1}{4}[/latex], mas não sei como fazer. Alguma ideia de como posso continuar?

(segue abaixo os passos de como fiz, acho que já conferi umas 5 vezes pra saber se não fiz errado Shocked

)

2.sen(8x/2)cos(2x/2) = -7.sen(x)cos^2(x)

2.sen(4x) = -7.sen(x)cos(x)

2.2.2sen(2x)cos(2x)=-7.sen(2x)

cos(2x) = -7/8

2cos^2= 1/8

cos(x) = [latex]\pm \frac{1}{4}[/latex]

por **Giovana Martins** Seg 17 Jun 2024, 07:04

Sem querer você errou na aplicação da fórmula de Prostaférese. Veja:

\[\mathrm{Prostaf\acute{e}rese:sin(\alpha )-sin(\beta )=2cos\left ( \frac{\alpha +\beta }{2} \right )sin\left ( \frac{\alpha -\beta }{2} \right )}\]

\[\mathrm{sin(5x)-sin(3x)=2cos(4x)sin(x)=-7sin(x)cos^2(x)\to sin(x)[2cos(4x)+7cos^2(x)]=0}\]

\[\mathrm{\therefore\ Caso\ 1:sin(x)=0\ e\ Caso\ 2:2cos(4x)+7cos^2(x)=0}\]

\[\mathrm{Do\ caso\ 1,para\ x\in[0,2\pi]:sin(x)=0\ \therefore\ S_1=\left \{ 0,\pi,2\pi \right \}}\]

\[\mathrm{Do\ caso\ 2,para\ x\in [0,2\pi]:dado\ que\ cos(4x)=8cos^4(x)-8cos^2(x)+1,logo:}\]

\[\mathrm{16cos^4(x)-9cos^2(x)+2=0\ \therefore\ t=cos^2(x)\ \therefore\ 16t^2-9t+2=0\ \therefore\ \Delta <0\ \therefore\ t=cos^2(x)\notin \mathbb{R}}\]

\[\mathrm{Sendo\ assim,\ S=S_1=\left \{ 0,\pi,2\pi \right \}\ \therefore\ \boxed{\mathrm{Soma=3\pi}}}\]

A propósito, para a equação de jeito que foi postada, o gabarito está incorreto.

Apenas uma consideração:

\[\mathrm{cos(4x)=cos(2\cdot 2x)=2cos^2(2x)-1=2[cos(2x)]^2-1=2[2cos^2(x)-1]^2-1}\]

\[\mathrm{cos(4x)=2[4cos^4(x)-4cos^2(x)+1]-1=8cos^4(x)-8cos^2(x)+1}\]

\[\mathrm{\therefore\ \boxed{\mathrm{cos(4x)=8cos^4(x)-8cos^2(x)+1}}}\]

por **Giovana Martins** Seg 17 Jun 2024, 07:11

Apenas mais uma consideração:

Digamos que a passagem abaixo estivesse correta.

2sen(8x/2)cos(2x/2) = -7sen(x)cos²(x)

2sen(4x) = -7sen(x)cos(x)

Simplificar o cos(x) igual você fez acima, a não ser que você tenha garantias de que cos(x) é diferente de 0 (para não incorrer em divisões por 0), é errado, além de você correr o risco de perder soluções.

Note que para o intervalo dado pelo enunciado cos(x) pode assumir valor nulo, o que já te impede de simplificar os fatores cos(x).

Em casos como este o correto é encontrar alguma saída que vise a fatoração. Veja:

2sen(8x/2)cos(2x/2) = -7sen(x)cos²(x)

2sin(4x)cos(x) + 7sin(x)cos²(x) = 0

cos(x)[2sin(4x) + 7sin(x)cos(x)] = 0

Daí resolve para cos(x) = 0 e para 2sin(4x) + 7sin(x)cos(x) = 0.

por Lucas Schokal Seg 17 Jun 2024, 11:29

Giovana Martins escreveu:
Sem querer você errou na aplicação da fórmula de Prostaférese. Veja:

\[\mathrm{Prostaf\acute{e}rese:sin(\alpha )-sin(\beta )=2cos\left ( \frac{\alpha +\beta }{2} \right )sin\left ( \frac{\alpha -\beta }{2} \right )}\]

\[\mathrm{sin(5x)-sin(3x)=2cos(4x)sin(x)=-7sin(x)cos^2(x)\to sin(x)[2cos(4x)+7cos^2(x)]=0}\]

\[\mathrm{\therefore\ Caso\ 1:sin(x)=0\ e\ Caso\ 2:2cos(4x)+7cos^2(x)=0}\]

\[\mathrm{Do\ caso\ 1,para\ x\in[0,2\pi]:sin(x)=0\ \therefore\ S_1=\left \{ 0,\pi,2\pi \right \}}\]

\[\mathrm{Do\ caso\ 2,para\ x\in [0,2\pi]:dado\ que\ cos(4x)=8cos^4(x)-8cos^2(x)+1,logo:}\]

\[\mathrm{16cos^4(x)-9cos^2(x)+2=0\ \therefore\ t=cos^2(x)\ \therefore\ 16t^2-9t+2=0\ \therefore\ \Delta <0\ \therefore\ t=cos^2(x)\notin \mathbb{R}}\]

\[\mathrm{Sendo\ assim,\ S=S_1=\left \{ 0,\pi,2\pi \right \}\ \therefore\ \boxed{\mathrm{Soma=3\pi}}}\]

A propósito, para a equação de jeito que foi postada, o gabarito está incorreto.

Apenas uma consideração:

\[\mathrm{cos(4x)=cos(2\cdot 2x)=2cos^2(2x)-1=2[cos(2x)]^2-1=2[2cos^2(x)-1]^2-1}\]

\[\mathrm{cos(4x)=2[4cos^4(x)-4cos^2(x)+1]-1=8cos^4(x)-8cos^2(x)+1}\]

\[\mathrm{\therefore\ \boxed{\mathrm{cos(4x)=8cos^4(x)-8cos^2(x)+1}}}\]