Número de soluções de uma equação trigonométrica

por Zeroberto Qui 17 Ago 2023, 18:14

Se \(\alpha < \frac{1}{32}\), determine o número de soluções reais da equação:

\((arcsenx)^3 + (arccosx)^3 = \alpha \pi^3\)

Gab: Não há soluções reais.

por **Giovana Martins** Qui 17 Ago 2023, 19:14

[latex]\\\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ arcsin^3(x)+arccos^3(x)=\alpha \pi^3,dado\ que\ arcsin(x)+arccos(x)=\frac{\pi }{2}}\\\\ \mathrm{arcsin^3(x)+\left [\frac{\pi }{2} -arcsin(x) \right ]^3=\alpha \pi^3\to arcsin^3(x)+\sum_{n=0}^{3}\binom{3}{n}\left ( \frac{\pi }{2} \right )^{-n+3}[-arcsin(x)]^n=\alpha \pi^3}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{3\pi }{2}arcsin^2(x)-\frac{3\pi ^2}{4}arcsin(x)+\frac{\pi ^3}{8}-\alpha \pi ^3=0\ \therefore\ \Delta =3\pi ^4\left ( 2\alpha-\frac{1}{16} \right )}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Se\ \alpha =\frac{1}{32}\ \therefore\ \Delta =0\ \therefore\ (r_1,r_2)\in \mathbb{R}\ tal\ que\ r_1=r_2}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Mas, \alpha <\frac{1}{32}\ \therefore \ \Delta <0\ \therefore\ (r_1,r_2)\in \mathbb{C}\ \vee\ (r_1,r_2)\notin\mathbb{R},com\ r_1\neq r_2}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Logo,\ n\tilde{a}o\ h\acute{a}\ x\in \mathbb{R}\ compativel\ com\ igualdade.}[/latex]

por **Giovana Martins** Qui 17 Ago 2023, 21:22

Fiz a expansão do cubo da diferença por Binômio de Newton, porque neste caso me pareceu ser uma solução melhor do que fazer na mão. Creio que seja isto.

por Zeroberto Qui 17 Ago 2023, 21:42

Olá, Giovana! Que resolução elegante, muito obrigado pela ajuda! Estava desenvolvendo seguindo suas orientações comentadas há algumas horas, então consegui chegar na conclusão proposta pelo gabarito.
Só fiquei com uma dúvida em ambas: por que os arcos são complementares?

por **Giovana Martins** Qui 17 Ago 2023, 21:59

ZEROBERTO26 escreveu:
Olá, Giovana! Que resolução elegante, muito obrigado pela ajuda! Estava desenvolvendo seguindo suas alterações comentadas há algumas horas, então consegui chegar na conclusão proposta pelo gabarito.
Só fiquei com uma dúvida em ambas: por que os arcos são complementares?

Disponha!

Para provar a igualdade que eu indiquei, você pode partir da seguinte ideia:

[latex]\\\mathrm{\ \ \ Sendo\ arcsin(x)=\mu \ \therefore\ x=sin(\mu )=cos\left ( \frac{\pi }{2}-\mu \right )}\\\\ \mathrm{Ent\tilde{a}o\ arccos(x)=\frac{\pi }{2}-\mu \to arccos(x)=\frac{\pi }{2}-arcsin(x)}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore\ arcsin(x)+arccos(x)=\frac{\pi }{2}}[/latex]