Minimização de uma expressão

por Pupilo Dom 16 Jun 2024, 23:43

Boa noite, estou com dificuldade em achar o valor mínimo dessa expressão [latex]\sqrt{\frac{2L}{cos(\alpha )g(sen(\alpha )-\mu cos(\alpha )) }}[/latex]. Alguém poderia me ajudar a chegar ao valor mínimo derivando em relação a alfa? O alfa deveria resultar em [latex]60^{\circ}[/latex]. Por favor faça passo a passo. [latex]\mu =\frac{1}{\sqrt{3}}[/latex]

por **Giovana Martins** Seg 17 Jun 2024, 08:11

\[\mathrm{P(\alpha )=gsin(\alpha )cos(\alpha )-\mu g cos^2(\alpha )}\]

\[\mathrm{\frac{dP(\alpha )}{d\alpha }=\frac{d}{d\alpha }[gsin(\alpha )cos(\alpha )-\mu g cos^2(\alpha )]}\]

\[\mathrm{(pq)'=qp'+pq'\ \therefore\ g\frac{d}{d\alpha }[sin(\alpha )cos(\alpha )]=g[cos^2(\alpha )-sin^2(\alpha )]}\]

\[\mathrm{(p^n)'=np^{n-1}p'\ \therefore\ \mu g\frac{d}{d\alpha }[cos^2(\alpha )]=-2\mu gsin(\alpha )cos(\alpha )}\]

\[\mathrm{\frac{dP(\alpha )}{d\alpha }=gcos^2(\alpha )-gsin^2(\alpha )+2\mu gsin(\alpha )cos(\alpha )=0}\]

\[\mathrm{cos^2(\alpha )-sin^2(\alpha )+\frac{2}{\sqrt{3}}sin(\alpha )cos(\alpha )=0\to cos(2\alpha )+\frac{1}{\sqrt{3}}sin(2\alpha )=0}\]

\[\mathrm{cos(2\alpha )=-\frac{1}{\sqrt{3}}sin(2\alpha )\to tan(2\alpha )=-\sqrt{3}\ \therefore\ \alpha =\frac{-\pi +3k\pi }{6}\ \therefore\ k=1\to \alpha =\frac{\pi}{3}}\]

Pelo critério da primeira derivada note que à esquerda de pi/3 a derivada é positiva e à direita de pi/3 a derivada é negativa, logo, pi/3 é o ponto que torna P(a) máximo.

O esboço do meu gráfico contempla 0 < a < pi/2, pois o que nos importa são somente as proximidades de pi/3.

por **Giovana Martins** Seg 17 Jun 2024, 08:19

Caso tenha algo a comentar quanto à resolução, por favor, não utilize o comando "citar" ou "citação múltipla".

Quando eu posto o gráfico como eu fiz no post acima, ao utilizar esses dois comandos o post buga totalmente, o que inviabiliza a leitura.

Se houver dúvidas, apenas poste-as normalmente sem utilizar os comandos indicados.

por Pupilo Seg 17 Jun 2024, 16:14

Boa tarde, minha dúvida é um pouco trivial, mas por que apenas o denominador foi derivado e não a expressão inteira?

por **Giovana Martins** Seg 17 Jun 2024, 18:08

Boa tarde!

Vou partir do início.

Primeiramente, o seu post não faz tanto sentido. Por favor, não veja isso como se eu estivesse sendo grosseira:).

Faltou todo um contexto por trás da sua pergunta, pois você não postou o enunciado.

Mas por que é que eu só derivei o denominador? Note que o numerador independe de alfa. O que está variando na expressão é somente alfa.

Sendo o numerador constante, a fração será tão menor quanto maior for o denominador.

Daí eu derivei o denominador com o objetivo de encontrar o maior valor que faz com que a fração seja mínima e, consequentemente, que faz com que a expressão como um todo seja mínima.

A propósito, você tirou esta expressão deste post que eu resolvi?

Post: https://pir2.forumeiros.com/t204606-atrito-ita-ime

Pois aqui eu chego em uma expressão igual a que você tem dúvida.