Problema de Minimização

por Augusto123 Ter 28 Out 2014, 18:11

Um oleoduto deve ligar dois pontos A e B, distantes 3 Milhas e situados nas margens opostas e um rio retilíneo de 1 milha de largura. Parte do oleoduto será construída sob a água, de A ate um ponto C na margem oposta, e o restante a superfície, de C até B. Se o custo de construção do oleoduto sob a água é quatro vezes o custo da construção à superfície e sabendo que a região onde está sendo construído o oleoduto não pertence à Bolívia (e, portanto não será invadida e tomada à força), determine a localização de C que minimize o custo de construção.

por **Elcioschin** Qua 29 Out 2014, 17:30

Trace as duas margens do rio (retas verticais)
Plote o ponto A na margem esquerda.
Por A trace uma perpendicular à margem direita no ponto A' ---> A'A = 1
Plote o ponto B na margem direita, abaixo de A', tal que AB = 3 m
Plote o ponto C na margem direita entre A' e B, mais próximo de B

A'B² = AB² - A'A² ---> A'B² = 3² - 1² ---> A'B = 2.√2

AC² = A'C² + A'A² ---> AC = √(x² + 1)

Seja A'C = x ---> BC = A'B - A'C ---> BC = 2.√2 - x

y = comprimento total do oleoduto

y = AC + BC ---> y = √(x² - 1) + 2. √2 - x

Custo da construção ---> C = 4.√(x² - 1) + 2. √2 - x

Basta agora derivar, igualar a derivada a zero e calcular x

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