sistema impossivel

por mhope Sáb Jun 15 2024, 00:57

O valor de a para que o sistema [latex]\left\{\begin{matrix}ax-y+2z=1 & & \\ -4x+ay+4z=2 & & \\ x+2y+z=-2a & & \end{matrix}\right.[/latex] seja impossível.

a)14

b)12

c)0

d)-2

e)-12

gab.: B

por **Giovana Martins** Sáb Jun 15 2024, 01:28

[latex]\\\mathrm{\begin{pmatrix} a & -1 & 2 & 1\\ -4 & a & 4 & 2\\ 1& 2 & 1 &-2a \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} -4 & a & 4 & 2\\ a & -1 & 2 & 1\\ 1& 2 & 1 &-2a \end{pmatrix} \overset{L_2\leftarrow L_2+\frac{aL_1}{4}}{\rightarrow}\begin{pmatrix} -4 & a & 4 & 2\\ 0 & \frac{a^2-4}{4} & a+2 & \frac{a+2}{2}\\ 1& 2 & 1 &-2a \end{pmatrix} }\\\\ \mathrm{\overset{L_3\leftarrow L_3+\frac{L_1}{4}}{\rightarrow}\begin{pmatrix} -4 & a & 4 & 2\\ 0 & \frac{a^2-4}{4} & a+2 & \frac{a+2}{2}\\ 0& \frac{a+8}{4} & 2 &\frac{1-4a}{2} \end{pmatrix}\xrightarrow[a^2-4\neq 0]{L_3\leftarrow L_3-\frac{L_2(a+ 8 )}{a^2-4}}\begin{pmatrix} -4 & a & 4 & 2\\ 0 & \frac{a^2-4}{4} & a+2 & \frac{a+2}{2}\\ 0& 0 & \frac{a-12}{a-2} &\frac{-2a^2+4a-5}{a-2} \end{pmatrix}}[/latex]

Da última linha da última matriz, isto é, z = (- 2a² + 4a - 5)/(a - 12), note que se a = 12 o numerador é diferente de 0 e o denominador é zero, condição que implica que o sistema é impossível.

por **Elcioschin** Sáb Jun 15 2024, 02:58

Outro modo, calculando o determinante principal ∆, usando Sarrus:

∆ = a² - 4 - 16 - 2.a - 8.a - 4 ---> ∆ = 0 --->

a² - 10.a - 24 = 0 ---> Raízes: a = - 2 e a = 12

por mhope Sáb Jun 15 2024, 22:05

Elcioschin escreveu:Outro modo, calculando o determinante principal ∆, usando Sarrus:

∆ = a² - 4 - 16 - 2.a - 8.a - 4 ---> ∆ = 0 --->

a² - 10.a - 24 = 0 ---> Raízes: a = - 2 e a = 12

Mas quando fazemos o determinante e ele dá igual a zero, o sistema é possível e indeterminado ou impossível. Nesse caso queremos que ele seja possível e indeterminado, eu posso aplicar mesmo assim então?

por mhope Sáb Jun 15 2024, 22:46

Giovana Martins escreveu:
[latex]\\\mathrm{\begin{pmatrix} a & -1 & 2 & 1\\ -4 & a & 4 & 2\\ 1& 2 & 1 &-2a \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} -4 & a & 4 & 2\\ a & -1 & 2 & 1\\ 1& 2 & 1 &-2a \end{pmatrix} \overset{L_2\leftarrow L_2+\frac{aL_1}{4}}{\rightarrow}\begin{pmatrix} -4 & a & 4 & 2\\ 0 & \frac{a^2-4}{4} & a+2 & \frac{a+2}{2}\\ 1& 2 & 1 &-2a \end{pmatrix} }\\\\ \mathrm{\overset{L_3\leftarrow L_3+\frac{L_1}{4}}{\rightarrow}\begin{pmatrix} -4 & a & 4 & 2\\ 0 & \frac{a^2-4}{4} & a+2 & \frac{a+2}{2}\\ 0& \frac{a+8}{4} & 2 &\frac{1-4a}{2} \end{pmatrix}\xrightarrow[a^2-4\neq 0]{L_3\leftarrow L_3-\frac{L_2(a+ 8 )}{a^2-4}}\begin{pmatrix} -4 & a & 4 & 2\\ 0 & \frac{a^2-4}{4} & a+2 & \frac{a+2}{2}\\ 0& 0 & \frac{a-12}{a-2} &\frac{-2a^2+4a-5}{a-2} \end{pmatrix}}[/latex]

Da última linha da última matriz, isto é, z = (- 2a² + 4a - 5)/(a - 12), note que se a = 12 o numerador é diferente de 0 e o denominador é zero, condição que implica que o sistema é impossível.

Obrigada pela solução, mas tenho duas dúvidas. A primeira é em z = (- 2a² + 4a - 5)/(a - 12), não seria z = (- 2a² + 4a - 5)/(a - 2), que é o que tem última linha na última coluna?
A segunda é se eu posso fazer (a-12)/(a-2)=0 para o sistema ser impossível e achar o "a".

por **Elcioschin** Sáb Jun 15 2024, 23:59

A Giovana esqueceu de digitar o 1 antes do 2. Já editei.

Você não pode fazer (a - 2)/(a - 2) = 0, pois teríamos 1 = 0

por mhope Dom Jun 16 2024, 02:28

Elcioschin escreveu:A Giovana esqueceu de digitar o 1 antes do 2. Já editei.

Você não pode fazer (a - 2)/(a - 2) = 0, pois teríamos 1 = 0

Eu posso fazer (a-12)/(a-2)=0? Para o sistema ser impossível e achar o "a". *

por **Elcioschin** Dom Jun 16 2024, 02:33

Ai é uma questão diferente:

(a - 12)/(a - 2)

Para a solução ser impossível o denominador deve ser nulo, isto é, a = 2

por **Giovana Martins** Dom Jun 16 2024, 04:39

Boa noite, Mhope e Élcio!

Então, na última linha ali da matriz é a - 2 mesmo. Editei novamente.

Note, na segunda linha da resolução na qual eu faço as transformações matriciais eu imponho a condição a² - 4 ≠ 0 justamente para que eu não incorra em divisões por zero ao fazer as transformações lineares.

Esta foi uma condição, dentre as várias possíveis. A partir das transformações lineares que eu fui desenvolvendo ao longo da resolução calhou de aparecer um a - 2, porém, se eu tivesse escolhido outros valores, possivelmente surgiria outra coisa que não a - 2.

Quanto a sua dúvida, Mhope, note que da última linha da matriz temos:

\[\mathrm{\left ( \frac{a-12}{a-2} \right )z=\frac{-2a^2+4a-5}{a-2}\leftrightarrow (a-12)z=-2a^2+4a-5\leftrightarrow z=\frac{-2a^2+4a-5}{a-12}}\]

Da forma como eu desenvolvi os cálculos, a não pode ser 2 devido à imposição que eu estabeleci. Sendo a diferente de 2, logo, eu posso simplificar o fator como eu fiz acima.

A propósito, para a = 2 o sistema é possível e determinado cujas soluções são (x,y,z) = (-0.9, -1.8, 0.5). Tente calcular. Se houver dúvidas, avise.