EDO Exata

por Fis_física Qui 5 Out - 1:27

Determine a função y=y(x) cujo gráfico passa pelo ponto (1,1) e tal que a reta tangente no ponto (x,y) tenha coeficiente angular (x+2y)/(y-2x)

por **Giovana Martins** Qui 5 Out - 2:35

Vou transformar a EDO do enunciado em uma EDO com variáveis separáveis. Para isto, seja a substituição y(x) = xp(x):

[latex]\\\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ y(x)=xp(x)\to\frac{dy(x)}{dx}=x\frac{dp (x)}{dx}+p (x)=\frac{x+2y}{y-2x}\ \therefore \ x\frac{dp (x)}{dx}+p (x)=\frac{x+2xp (x)}{xp (x)-2x}}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\frac{dp (x)}{dx}+p (x)=\frac{1+2p (x)}{p (x)-2}\to x\frac{dp (x)}{dx}=\frac{1+4p (x)-p (x)^2}{p (x)-2} }\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \int \left [\frac{p(x)-2}{1+4p (x)-p (x)^2} \right ]dp=\int \left ( \frac{1}{x} \right )dx\to -\frac{1}{2}ln\left [p^2(x)-4p(x)-1 \right ]=ln(x)+C}\\\\ \mathrm{\frac{1}{\sqrt{p^2(x)-4p(x)-1}}=Cx\to \frac{1}{\sqrt{\left ( \frac{y}{x} \right )^2-\frac{4y}{x}-1}}=Cx\to \frac{y^2}{x^2} -\frac{4y}{x}-1=\frac{C}{x^2}\to y=2x\pm \sqrt{5x^2+C}}\\\\ \mathrm{\ \ \ (1,1)\in y=2x+ \sqrt{5x^2+C}\to C\ n\tilde{a}o\ existe\ e\ para\ (1,1)\in y=2x- \sqrt{5x^2+C}\to C=-4}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Resposta:y=2x- \sqrt{5x^2-4}}[/latex]

Penso que seja isto!

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