(Simulado IME) Sistema Linear
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(Simulado IME) Sistema Linear
Sejam {λ1, λ2 ,λ3 ,λ4 ,λ5} ∈ ℤ.
λ1 + λ4 = 12
λ2 + λ1λ4 + λ5 = 57
λ3 + λ2λ4 + λ1λ5 = 134
λ3λ4 + λ2λ5 = 156
λ3λ5 = 72
Encontre todos os possíveis valores da soma λ2 + λ4.
- Spoiler:
- 18, 21 e 25
Giovana Martins- Grande Mestre
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Localização : São Paulo
Re: (Simulado IME) Sistema Linear
Tem a solução dessa? eu fiz de uma maneira muito trabalhosa e queria saber se tem alguma forma mais esperta de lidar com as contas.
Somando todas as equações obteremos:
λ1 + λ2 + λ3 + λ4 + λ5 + λ1λ4 + λ2λ4 + λ1λ5 + λ3λ4 + λ2λ5 +λ3λ5 = 12+ 57 + 134 + 156 + 72 = 431
Notamos que essa igualdade pode ser escrita como:
(1 + λ1 + λ2 + λ3)(1 + λ4 + λ5) - 1 = 431
(1 + λ1 + λ2 + λ3)(1 + λ4 + λ5) = 432
Similarmente, somando a primeira, terceira e quinta e subtraindo a segunda e quarta obtemos:
λ1 - λ2 + λ3 + λ4 - λ5 - λ1λ4 + λ2λ4 + λ1λ5 - λ3λ4 - λ2λ5 +λ3λ5 = 12 - 57 + 134 - 156 + 72 = 5
(-1 + λ1 - λ2 + λ3)(1 - λ4 + λ5) = 4
λ1 - λ2 + λ3 + λ4 - λ5 - λ1λ4 + λ2λ4 + λ1λ5 - λ3λ4 - λ2λ5 +λ3λ5 = 12 - 57 + 134 - 156 + 72 = 5
(-1 + λ1 - λ2 + λ3)(1 - λ4 + λ5) = 4
Ou seja, ficamos com o sistema:
(1 + λ1 + λ2 + λ3)(1 + λ4 + λ5) = 432
(-1 + λ1 - λ2 + λ3)(1 - λ4 + λ5) = 4
Para simplificar, vamos considerar x = λ1 + λ3, y = 1 + λ2, z = 1 + λ5, w = λ4. Isso torna o sistema em:
(x + y)(z + w) = 432
(x - y) (z - w) = 4
Como x,y,z,w são inteiros, esse sistema possui um número finito de soluções, e podemos obtê-las observando que cada um dos fatores da primeira equação são divisores de 432 e similarmente na segunda equação, temos divisores de 4. Todavia, o número de soluções é muito grande (são 72) pra verificarmos a mão sem pensar. Pra resolver essa dificuldade notamos que cada solução possui 8 simetrias. Isto é, se (x0,y0,z0,w0) é solução, então:
(y0,x0,w0,z0)
(z0,w0,x0,y0)
(w0,z0,y0,x0)
(-x0,-y0,-z0,-w0)
(-y0,-x0,-w0,-z0)
(-z0,-w0,-x0,-y0)
(-w0,-z0,-y0,-x0)
também são soluções.
Isso significa que podemos reduzir a dois casos:
1° caso: x-y = 1 com z ≥ 0:
Aqui temos x = 1+y e z-w = 4. Daí:
(2y+1)(2z-4) = 432
(2y+1)(z-2) = 216
Isso nos dá y ∈ {8+2,8.3 +2,8.9+2,8.27+2} = {10,26,74,106} e consequentemente temos as soluções
(1,0,218,214), (2,1,74,70), (5,4,26,22), (14,13,10,6)
2° caso: x-y = 2 com x ≥ z ≥ 0:
Aqui temos x = 2+y e z-w = 2. Daí:
(2y+2)(2z-2) = 432
(y+1)(z-1) = 108
Esse caso nos da muitas possibilidades, pois 108 = 27.4 possui muitos divisores:
z-1 ∈ {-1,1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108}
z ∈ {0,2,3,5,7,10,13,19,28,37,55,109}
Isso da origem as soluções (não precisamos de todas, só de z = 2 até z =10)
(109, 107, 2,0), (55, 53, 3, 1), (37,35,4,2), (28,26,5,3), (19,17,7,5), (13,11,10,![Cool](https://2img.net/i/fa/i/smiles/icon_cool.gif)
Com isso, concluímos que o sistema tem 72 soluções, sendo que cada uma delas é uma simetria dessas 9 que encontramos.
Agora a próxima dificuldade é que naturalmente esse sistema tem muito mais soluções que o sistema original. Por exemplo, a solução:
x = -214, y = -218, z = 0, w = -1
produz:
λ1 + λ3 = -214, λ2 = -219, λ4 = -1, λ5 = -1
Que não é compatível do sistema original. Isso significa que precisamos verificar quais valores (x,y,z,w) de fato geram soluções pro sistema original. A princípio essa é uma verificação longa, porém possível. Queremos reduzir isso de alguma forma. Observamos os seguintes fatos:
Qualquer solução (x0,y0,z0,w0) tem todas as coordenadas com o mesmo sinal.
Combinando a primeira equação com a segunda do sistema original obtemos:
λ1 + w = 12 ---> λ1 = 12-w
λ2 + λ1λ4 + λ5 = 57
(y-1) + (12-w)w + (z-1) = 57
y + z + (12-w)w = 59
Assim, caso seja w < 0, teremos (12-w)w < 0. Como 59 > 0, isso significa que ao menos 1 dos números y e z deve ser positivo. Pela observação acima, segue que a única possibilidade é que x,y,z,w sejam todos não negativos. Ou seja, reduzimos em metade as soluções que precisamos analisar.
Notamos que se w > 12 não temos solução (pois o produto (12-w)w fica muito pequeno conforme w cresce). E 0 ≤ w ≤ 12 implica que y+z ∈ {23,24,27,32,39,48,59}, e nesse cenário as possibilidades são apenas:
(19,17,7,5), (26,22,5,4), (14,13,10,6)
Cada uma delas produz de fato uma solução pro sistema original:
(λ1, λ2, λ3, λ4, λ5) = (8, 21, 18, 4, 4)
(λ1, λ2, λ3, λ4, λ5) = (7, 16, 12, 5, 6)
(λ1, λ2, λ3, λ4, λ5) = (6, 12, 8, 6, 9)
Portanto, os possíveis valores de λ2 + λ4 são 21 + 4 = 25, 16+5 = 21 e 12+ 6 = 18.
Para simplificar, vamos considerar x = λ1 + λ3, y = 1 + λ2, z = 1 + λ5, w = λ4. Isso torna o sistema em:
(x + y)(z + w) = 432
(x - y) (z - w) = 4
Como x,y,z,w são inteiros, esse sistema possui um número finito de soluções, e podemos obtê-las observando que cada um dos fatores da primeira equação são divisores de 432 e similarmente na segunda equação, temos divisores de 4. Todavia, o número de soluções é muito grande (são 72) pra verificarmos a mão sem pensar. Pra resolver essa dificuldade notamos que cada solução possui 8 simetrias. Isto é, se (x0,y0,z0,w0) é solução, então:
(y0,x0,w0,z0)
(z0,w0,x0,y0)
(w0,z0,y0,x0)
(-x0,-y0,-z0,-w0)
(-y0,-x0,-w0,-z0)
(-z0,-w0,-x0,-y0)
(-w0,-z0,-y0,-x0)
também são soluções.
Isso significa que podemos reduzir a dois casos:
1° caso: x-y = 1 com z ≥ 0:
Aqui temos x = 1+y e z-w = 4. Daí:
(2y+1)(2z-4) = 432
(2y+1)(z-2) = 216
Isso nos dá y ∈ {8+2,8.3 +2,8.9+2,8.27+2} = {10,26,74,106} e consequentemente temos as soluções
(1,0,218,214), (2,1,74,70), (5,4,26,22), (14,13,10,6)
2° caso: x-y = 2 com x ≥ z ≥ 0:
Aqui temos x = 2+y e z-w = 2. Daí:
(2y+2)(2z-2) = 432
(y+1)(z-1) = 108
Esse caso nos da muitas possibilidades, pois 108 = 27.4 possui muitos divisores:
z-1 ∈ {-1,1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108}
z ∈ {0,2,3,5,7,10,13,19,28,37,55,109}
Isso da origem as soluções (não precisamos de todas, só de z = 2 até z =10)
(109, 107, 2,0), (55, 53, 3, 1), (37,35,4,2), (28,26,5,3), (19,17,7,5), (13,11,10,
![Cool](https://2img.net/i/fa/i/smiles/icon_cool.gif)
Com isso, concluímos que o sistema tem 72 soluções, sendo que cada uma delas é uma simetria dessas 9 que encontramos.
Agora a próxima dificuldade é que naturalmente esse sistema tem muito mais soluções que o sistema original. Por exemplo, a solução:
x = -214, y = -218, z = 0, w = -1
produz:
λ1 + λ3 = -214, λ2 = -219, λ4 = -1, λ5 = -1
Que não é compatível do sistema original. Isso significa que precisamos verificar quais valores (x,y,z,w) de fato geram soluções pro sistema original. A princípio essa é uma verificação longa, porém possível. Queremos reduzir isso de alguma forma. Observamos os seguintes fatos:
Qualquer solução (x0,y0,z0,w0) tem todas as coordenadas com o mesmo sinal.
Combinando a primeira equação com a segunda do sistema original obtemos:
λ1 + w = 12 ---> λ1 = 12-w
λ2 + λ1λ4 + λ5 = 57
(y-1) + (12-w)w + (z-1) = 57
y + z + (12-w)w = 59
Assim, caso seja w < 0, teremos (12-w)w < 0. Como 59 > 0, isso significa que ao menos 1 dos números y e z deve ser positivo. Pela observação acima, segue que a única possibilidade é que x,y,z,w sejam todos não negativos. Ou seja, reduzimos em metade as soluções que precisamos analisar.
Notamos que se w > 12 não temos solução (pois o produto (12-w)w fica muito pequeno conforme w cresce). E 0 ≤ w ≤ 12 implica que y+z ∈ {23,24,27,32,39,48,59}, e nesse cenário as possibilidades são apenas:
(19,17,7,5), (26,22,5,4), (14,13,10,6)
Cada uma delas produz de fato uma solução pro sistema original:
(λ1, λ2, λ3, λ4, λ5) = (8, 21, 18, 4, 4)
(λ1, λ2, λ3, λ4, λ5) = (7, 16, 12, 5, 6)
(λ1, λ2, λ3, λ4, λ5) = (6, 12, 8, 6, 9)
Portanto, os possíveis valores de λ2 + λ4 são 21 + 4 = 25, 16+5 = 21 e 12+ 6 = 18.
DaoSeek- Jedi
- Mensagens : 316
Data de inscrição : 29/07/2022
Giovana Martins gosta desta mensagem
Re: (Simulado IME) Sistema Linear
DaoSeek escreveu:Tem a solução dessa? eu fiz de uma maneira muito trabalhosa e queria saber se tem alguma forma mais esperta de lidar com as contas.Somando todas as equações obteremos:λ1 + λ2 + λ3 + λ4 + λ5 + λ1λ4 + λ2λ4 + λ1λ5 + λ3λ4 + λ2λ5 +λ3λ5 = 12+ 57 + 134 + 156 + 72 = 431Notamos que essa igualdade pode ser escrita como:(1 + λ1 + λ2 + λ3)(1 + λ4 + λ5) - 1 = 431(1 + λ1 + λ2 + λ3)(1 + λ4 + λ5) = 432Similarmente, somando a primeira, terceira e quinta e subtraindo a segunda e quarta obtemos:λ1 - λ2 + λ3 + λ4 - λ5 - λ1λ4 + λ2λ4 + λ1λ5 - λ3λ4 - λ2λ5 +λ3λ5 = 12 - 57 + 134 - 156 + 72 = 5(-1 + λ1 - λ2 + λ3)(1 - λ4 + λ5) = 4Ou seja, ficamos com o sistema:(1 + λ1 + λ2 + λ3)(1 + λ4 + λ5) = 432(-1 + λ1 - λ2 + λ3)(1 - λ4 + λ5) = 4Para simplificar, vamos considerar x = λ1 + λ3, y = 1 + λ2, z = 1 + λ5, w = λ4. Isso torna o sistema em:(x + y)(z + w) = 432(x - y) (z - w) = 4Como x,y,z,w são inteiros, esse sistema possui um número finito de soluções, e podemos obtê-las observando que cada um dos fatores da primeira equação são divisores de 432 e similarmente na segunda equação, temos divisores de 4. Todavia, o número de soluções é muito grande (são 72) pra verificarmos a mão sem pensar. Pra resolver essa dificuldade notamos que cada solução possui 8 simetrias. Isto é, se (x0,y0,z0,w0) é solução, então:(y0,x0,w0,z0)(z0,w0,x0,y0)(w0,z0,y0,x0)(-x0,-y0,-z0,-w0)(-y0,-x0,-w0,-z0)(-z0,-w0,-x0,-y0)(-w0,-z0,-y0,-x0)também são soluções.Isso significa que podemos reduzir a dois casos:1° caso: x-y = 1 com z ≥ 0:Aqui temos x = 1+y e z-w = 4. Daí:(2y+1)(2z-4) = 432(2y+1)(z-2) = 216Isso nos dá y ∈ {8+2,8.3 +2,8.9+2,8.27+2} = {10,26,74,106} e consequentemente temos as soluções(1,0,218,214), (2,1,74,70), (5,4,26,22), (14,13,10,6)2° caso: x-y = 2 com x ≥ z ≥ 0:Aqui temos x = 2+y e z-w = 2. Daí:(2y+2)(2z-2) = 432(y+1)(z-1) = 108Esse caso nos da muitas possibilidades, pois 108 = 27.4 possui muitos divisores:z-1 ∈ {-1,1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108}z ∈ {0,2,3,5,7,10,13,19,28,37,55,109}Isso da origem as soluções (não precisamos de todas, só de z = 2 até z =10)(109, 107, 2,0), (55, 53, 3, 1), (37,35,4,2), (28,26,5,3), (19,17,7,5), (13,11,10,Com isso, concluímos que o sistema tem 72 soluções, sendo que cada uma delas é uma simetria dessas 9 que encontramos.Agora a próxima dificuldade é que naturalmente esse sistema tem muito mais soluções que o sistema original. Por exemplo, a solução:x = -214, y = -218, z = 0, w = -1produz:λ1 + λ3 = -214, λ2 = -219, λ4 = -1, λ5 = -1Que não é compatível do sistema original. Isso significa que precisamos verificar quais valores (x,y,z,w) de fato geram soluções pro sistema original. A princípio essa é uma verificação longa, porém possível. Queremos reduzir isso de alguma forma. Observamos os seguintes fatos:Qualquer solução (x0,y0,z0,w0) tem todas as coordenadas com o mesmo sinal.Combinando a primeira equação com a segunda do sistema original obtemos:λ1 + w = 12 ---> λ1 = 12-wλ2 + λ1λ4 + λ5 = 57(y-1) + (12-w)w + (z-1) = 57y + z + (12-w)w = 59Assim, caso seja w < 0, teremos (12-w)w < 0. Como 59 > 0, isso significa que ao menos 1 dos números y e z deve ser positivo. Pela observação acima, segue que a única possibilidade é que x,y,z,w sejam todos não negativos. Ou seja, reduzimos em metade as soluções que precisamos analisar.Notamos que se w > 12 não temos solução (pois o produto (12-w)w fica muito pequeno conforme w cresce). E 0 ≤ w ≤ 12 implica que y+z ∈ {23,24,27,32,39,48,59}, e nesse cenário as possibilidades são apenas:(19,17,7,5), (26,22,5,4), (14,13,10,6)Cada uma delas produz de fato uma solução pro sistema original:(λ1, λ2, λ3, λ4, λ5) = (8, 21, 18, 4, 4)(λ1, λ2, λ3, λ4, λ5) = (7, 16, 12, 5, 6)(λ1, λ2, λ3, λ4, λ5) = (6, 12, 8, 6, 9)Portanto, os possíveis valores de λ2 + λ4 são 21 + 4 = 25, 16+5 = 21 e 12+ 6 = 18.
Caramba, extremamente criativo!
Então, eu não tenho a resolução para este problema. Tenho umas listinhas aqui nos meus drives e estou postando aqui para os membros que estudam para os vestibulares militares e para aqueles que têm a matemática como hobbie. Alguns dos exercícios da lista tem resolução e outros não, infelizmente.
Da sua resolução, acredito que dê para roubar um pouquinho.
Digamos que λ1, λ2, λ3 , λ4 e λ5 são raízes de um polinômio P(x) de grau 5 (tirei esta ideia desta questão - clique aqui).
Da passagem da sua resolução: (1 + λ1 + λ2 + λ3)(1 + λ4 + λ5) = 432, me parece que temos o seguinte polinômio: P(x) = (x3 + λ1x2 + λ2x + λ3)(x2 + λ4x + λ5).
Expandindo o último fator, tem-se: P(x) = x5 + (λ1 + λ4)x4 + (λ2 + λ1λ4 + λ5)x3 + (λ3 + λ2λ4 + λ1λ5)x2 + (λ3λ4 + λ2λ5)x + λ3λ5.
Assim: P(x) = x5 + 12x4 + 57x3 + 134x2 + 156x + 72 = (x + 2)3(x + 3)2.
Daí expande até encontrar λ2 + λ4 = {18, 21, 25}.
Giovana Martins- Grande Mestre
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DaoSeek gosta desta mensagem
Re: (Simulado IME) Sistema Linear
Ahhh então era isso que tava faltando. Eu sabia que tinha alguma simetria que eu não estava enxergando. Eu ainda cheguei a escrever o sistema como:
\( \displaystyle \begin{bmatrix}
\lambda_4 & 1 & 0 & 0 \\
\lambda_5 & \lambda_4 & 1 & 0 \\
0 & \lambda_5 & \lambda_4 & 1 \\
0 & 0 & \lambda_5 & \lambda_4 \\
0 & 0 & 0 & \lambda_5
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
1 \\ \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
12 \\ 57 \\134 \\156 \\72 \end{bmatrix}\)
e mesmo assim não percebi que em cada linha os índices tem soma constante
Ps. Extremamente trabalhoso você quis dizer, criativo foi isso que você fez!!
\( \displaystyle \begin{bmatrix}
\lambda_4 & 1 & 0 & 0 \\
\lambda_5 & \lambda_4 & 1 & 0 \\
0 & \lambda_5 & \lambda_4 & 1 \\
0 & 0 & \lambda_5 & \lambda_4 \\
0 & 0 & 0 & \lambda_5
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
1 \\ \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
12 \\ 57 \\134 \\156 \\72 \end{bmatrix}\)
e mesmo assim não percebi que em cada linha os índices tem soma constante
![(Simulado IME) Sistema Linear 1f605](https://2img.net/i/fa/twemoji/16x16/1f605.png)
Ps. Extremamente trabalhoso você quis dizer, criativo foi isso que você fez!!
DaoSeek- Jedi
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Giovana Martins gosta desta mensagem
Re: (Simulado IME) Sistema Linear
DaoSeek escreveu:Ahhh então era isso que tava faltando. Eu sabia que tinha alguma simetria que eu não estava enxergando. Eu ainda cheguei a escrever o sistema como:\( \displaystyle \begin{bmatrix}\lambda_4 & 1 & 0 & 0 \\\lambda_5 & \lambda_4 & 1 & 0 \\0 & \lambda_5 & \lambda_4 & 1 \\0 & 0 & \lambda_5 & \lambda_4 \\0 & 0 & 0 & \lambda_5\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1 \\ \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}12 \\ 57 \\134 \\156 \\72 \end{bmatrix}\)e mesmo assim não percebi que em cada linha os índices tem soma constantePs. Extremamente trabalhoso você quis dizer, criativo foi isso que você fez!!
Excelente, Daoseek.
A propósito, sei que você respondeu as minhas outras postagens, mas ainda não consegui verificar. Peço apenas um pouquinho de paciência, porque estou atarefada com o trabalho.
Assim que possível respondo.
Giovana Martins- Grande Mestre
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Localização : São Paulo
DaoSeek gosta desta mensagem
Re: (Simulado IME) Sistema Linear
Que isso, preocupa com isso não, quando der vc olha!!
DaoSeek- Jedi
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Data de inscrição : 29/07/2022
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