(Simulado IME) Sistema Linear

DaoSeek escreveu:

Tem a solução dessa? eu fiz de uma maneira muito trabalhosa e queria saber se tem alguma forma mais esperta de lidar com as contas.

Somando todas as equações obteremos:

λ₁ + λ₂ + λ₃ + λ₄ + λ₅ + λ₁λ₄ + λ₂λ₄ + λ₁λ₅ + λ₃λ₄ + λ₂λ₅ +λ₃λ₅ = 12+ 57 + 134 + 156 + 72 = 431

Notamos que essa igualdade pode ser escrita como:

(1 + λ₁ + λ₂ + λ₃)(1 + λ₄ + λ₅) - 1 = 431

(1 + λ₁ + λ₂ + λ₃)(1 + λ₄ + λ₅) = 432

Similarmente, somando a primeira, terceira e quinta e subtraindo a segunda e quarta obtemos:

λ₁ - λ₂ + λ₃ + λ₄ - λ₅ - λ₁λ₄ + λ₂λ₄ + λ₁λ₅ - λ₃λ₄ - λ₂λ₅ +λ₃λ₅ = 12 - 57 + 134 - 156 + 72 = 5

(-1 + λ₁ - λ₂ + λ₃)(1 - λ₄ + λ₅) = 4

Ou seja, ficamos com o sistema:

(1 + λ₁ + λ₂ + λ₃)(1 + λ₄ + λ₅) = 432

(-1 + λ₁ - λ₂ + λ₃)(1 - λ₄ + λ₅) = 4

Para simplificar, vamos considerar x = λ₁ + λ₃, y = 1 + λ₂, z = 1 + λ₅, w = λ₄. Isso torna o sistema em:

(x + y)(z + w) = 432

(x - y) (z - w) = 4

Como x,y,z,w são inteiros, esse sistema possui um número finito de soluções, e podemos obtê-las observando que cada um dos fatores da primeira equação são divisores de 432  e similarmente na segunda equação, temos divisores de 4. Todavia, o número de soluções é muito grande (são 72) pra verificarmos a mão sem pensar. Pra resolver essa dificuldade notamos que cada solução possui 8 simetrias. Isto é, se (x₀,y₀,z₀,w₀) é solução, então:

(y₀,x₀,w₀,z₀)

(z₀,w₀,x₀,y₀)

(w₀,z₀,y₀,x₀)

(-x₀,-y₀,-z₀,-w₀)

(-y₀,-x₀,-w₀,-z₀)

(-z₀,-w₀,-x₀,-y₀)

(-w₀,-z₀,-y₀,-x₀)

também são soluções.

Isso significa que podemos reduzir a dois casos:

1° caso: x-y = 1 com z ≥ 0:

Aqui temos x = 1+y e z-w = 4. Daí:

(2y+1)(2z-4) = 432

(2y+1)(z-2) = 216

Isso nos dá y ∈ {8+2,8.3 +2,8.9+2,8.27+2} = {10,26,74,106} e consequentemente temos as soluções 

(1,0,218,214), (2,1,74,70), (5,4,26,22), (14,13,10,6)

2° caso: x-y = 2 com x ≥ z ≥ 0:

Aqui temos x = 2+y e z-w = 2. Daí:

(2y+2)(2z-2) = 432

(y+1)(z-1) = 108

Esse caso nos da muitas possibilidades, pois 108 = 27.4 possui muitos divisores:

z-1 ∈ {-1,1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108}

z ∈ {0,2,3,5,7,10,13,19,28,37,55,109}

Isso da origem as soluções (não precisamos de todas, só de z = 2 até z =10)

(109, 107, 2,0), (55, 53, 3, 1), (37,35,4,2), (28,26,5,3), (19,17,7,5), (13,11,10,

Com isso, concluímos que o sistema tem 72 soluções, sendo que cada uma delas é uma simetria dessas 9 que encontramos.  

Agora a próxima dificuldade é que naturalmente esse sistema tem muito mais soluções que o sistema original. Por exemplo, a solução:

x = -214, y = -218, z = 0, w = -1

produz:

λ₁ + λ₃ = -214,  λ₂ = -219,  λ₄ = -1, λ₅ = -1

Que não é compatível do sistema original. Isso significa que precisamos verificar quais valores (x,y,z,w) de fato geram soluções pro sistema original. A princípio essa é uma verificação longa, porém possível. Queremos reduzir isso de alguma forma. Observamos os seguintes fatos:

Qualquer solução (x₀,y₀,z₀,w₀) tem todas as coordenadas com o mesmo sinal. 

Combinando a primeira equação com a segunda do sistema original obtemos:

λ₁ + w = 12   --->  λ₁ = 12-w

λ₂ + λ₁λ₄ + λ₅ = 57 

(y-1) + (12-w)w + (z-1) = 57

y + z + (12-w)w = 59

Assim, caso seja w < 0, teremos (12-w)w < 0. Como 59 > 0, isso significa que ao menos 1 dos números y e z deve ser positivo. Pela observação acima, segue que a única possibilidade é que x,y,z,w sejam todos não negativos. Ou seja, reduzimos em metade as soluções que precisamos analisar. 

Notamos que se w > 12 não temos solução (pois o produto (12-w)w fica muito pequeno conforme w cresce). E 0 ≤ w ≤ 12 implica que y+z ∈ {23,24,27,32,39,48,59}, e nesse cenário as possibilidades são apenas:

(19,17,7,5), (26,22,5,4), (14,13,10,6)

Cada uma delas produz de fato uma solução pro sistema original:

(λ₁, λ₂, λ₃, λ₄, λ₅) = (8, 21, 18, 4, 4)

(λ₁, λ₂, λ₃, λ₄, λ₅) = (7, 16, 12, 5, 6)

(λ₁, λ₂, λ₃, λ₄, λ₅) = (6, 12, 8, 6, 9)

Portanto, os possíveis valores de λ₂ + λ₄ são 21 + 4 = 25, 16+5 = 21 e 12+ 6 = 18.

DaoSeek escreveu:

Ahhh então era isso que tava faltando. Eu sabia que tinha alguma simetria que eu não estava enxergando. Eu ainda cheguei a escrever o sistema como:

\( \displaystyle \begin{bmatrix}

 \lambda_4 & 1 & 0 & 0 \\

\lambda_5 & \lambda_4 & 1 & 0 \\

0 & \lambda_5 & \lambda_4 & 1 \\

0 & 0 & \lambda_5 & \lambda_4 \\

0 & 0 & 0 & \lambda_5

\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}

1 \\ \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 

\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}

12 \\ 57 \\134 \\156 \\72 \end{bmatrix}\)

e mesmo assim não percebi que em cada linha os índices tem soma constante  

Ps. Extremamente trabalhoso você quis dizer, criativo foi isso que você fez!!