Números complexos

por wadekly Dom 18 Ago 2024, 16:14

Calcular o valor:

Spoiler:

Essa questão se resolve pela forma trigonométrica... Não consegui aplicar... Podem colaborar...?!

Perdão por ter postado a equação sob a forma de imagem... É que não soube digitá-la na programação correta...

por **Giovana Martins** Dom 18 Ago 2024, 16:44

Precisa que a resolução seja resolvida pela via trigonométrica? Acho que pelos ciclos da potências de i fica bem mais simples. Veja:

\[ \mathrm{\sum_{k=17}^{39}(1+i^{k})=\sum_{k=17}^{39}(1)+\sum_{k=17}^{39}(i^{k})=23+\sum_{k=17}^{39}(i^{k})}\]

\[\mathrm{(i^{17},i^{18}, i^{19},i^{20},...,i^{38},i^{39})=(i,-1,-i,1,...,i,-1)}\]

17,18,19,20

21,22,23,24

25,26,27,28

29,30,31,32

33,34,35,36

37,38,39

Como a cada 4 números o ciclo se repete, note que a soma das potências de i com k variando de 17 até 36 é nula, importando tão somente as potências 37, 38 e 39, pois neste caso teremos:

i³⁷ + i³⁸ + i³⁹ = i - 1 - i = - 1

Assim:

\[\mathrm{\sum_{k=17}^{39}(1+i^{k})=\sum_{k=17}^{39}(1)+\sum_{k=17}^{39}(i^{k})=23+\sum_{k=17}^{36}(i^{k})+\sum_{k=37}^{39}(i^{k})=23+0-1=22}\]