Geoemetria Analítica

por wadekly Sáb 17 Ago 2024, 17:07

No sistema ortogonal de coordenadas cartesianas Oxy da figura, está representada a circunferência de centro na origem e raio 3, bem como o gráfico da função:

Y=√8/|x|

Nessas condições, determine

a) as coordenadas dos pontos A, B, C, D de interseção da cir cun fe - rên cia com o gráfi co da função;

b) a área do pentágono OABCD

Spoiler:

Não entendi porque achei os pares ordenados diferentes (veja a figura)

daqueles do gabarito no item A... Será que errei no conceito do módulo do domínio da fução dada...?!

por **Giovana Martins** Sáb 17 Ago 2024, 17:40

Boa tarde, wadekly. Espero que esteja bem.

Eu não vou conseguir dizer em qual etapa do seu desenvolvimento você errou, pois você não postou os cálculos. De qualquer modo, irei postar os meus para você comparar. Se quiser postar os seus cálculos para discutirmos, sem problemas também.

\[\mathrm{x^2+y^2=9\ \cap\ y=\frac{\sqrt{8}}{|x|}\ \therefore\ x^2+\frac{8}{|x|^2}=9}\]

\[\mathrm{Como\ x\in \mathbb{R}\ \therefore\ |x|^2=|x^2|=x^2\ \therefore\ x^2+\frac{8}{x^2}=9}\]

\[\mathrm{Para\ x^2=p\ \therefore\ p+\frac{8}{p}=9\ \therefore\ p(1, Cool

\ \therefore\ x=\left(\pm 1,\pm 2\sqrt{2}\right)}\]

\[\mathrm{Substituindo\ x=\left(\pm1,\pm 2\sqrt{2}\right)\ em\ y=\frac{\sqrt{8}}{|x|}\ \therefore\ y=\left(2\sqrt{2}, 1\right)}\]

\[\mathrm{Pares\ ordenados:\left(-1,2\sqrt{2}\right),\left(1,2\sqrt{2}\right),\left(-2\sqrt{2},1\right),\left(2\sqrt{2},1\right)}\]

\[\mathrm{[ABCD]=\frac{(B+b)h}{2}=\frac{[(x_A-x_D)+(x_B-x_C)](y_B-y_A)}{2}=\frac{(4\sqrt{2}+2)\times (2\sqrt{2}-1)}{2}=7}\]

\[\mathrm{[OAD]=\frac{Bh}{2}=\frac{(x_A-x_D)(y_D-y_O)}{2}=\frac{4\sqrt{2}\times 1}{2}=2\sqrt{2}}\]

\[\mathrm{[OABCD]=[OAD]+[ABCD]\ \therefore\ [OABCD]=7+2\sqrt{2}}\]

por wadekly Sáb 17 Ago 2024, 21:42

Grato pela preocupação e empatia, Giovana... Apresentarei, aqui, o meu rascunho dos cálculos e o trecho onde apresento dúvidas... Pelas suas respostas, creio que me equivoquei na definição de módulo do domínio da função, conforme detalho no rascunho (perdão pela escrita apressada a lápis)...

por **Giovana Martins** Dom 18 Ago 2024, 18:06

Ao encontrar os valores ± 1 e ± 2√2 e substituir estes na função y = √8/|x| ter-se-á tão somente y = √8/|± 2√2| = 1 ou y = √8/|± 1| = 2√2, pois |2√2| = |- 2√2| = 2√2, bem como |1| = |- 1| = 1.

O |1| é ele mesmo e o |- 1| = - (- 1) = 1 e isto é exatamente a definição de módulo.

Como você tem 4 valores para x, quais sejam: ± 1 e ± 2√2, tem-se 4 pares ordenados.