Sistema com polinômios

por Zeroberto Qua 08 Nov 2023, 11:57

Se \( \alpha \;, \beta \; e \; \gamma \) são números complexos tais que:

\( \begin{cases} \alpha ^3 + 5\alpha + 2 = 0\\ \beta^3 + 5\beta + 2 = 0 \\ \gamma ^3 + 5\gamma + 2 = 0 \end{cases} \)

Então \( \alpha + \beta + \gamma\) é:

a) 15
b) 23
c) 6
d) -15
e) zero

por **Elcioschin** Qua 08 Nov 2023, 13:38

Um possível caminho é calcular (α + β + γ)³ e depois fatorar.

por Zeroberto Qua 08 Nov 2023, 20:55

Infelizmente não consegui chegar muito longe, Elcio. Tentei mais cedo e não obtive sucesso.

Quando vi sua mensagem, tentei desenvolver por uma expansão multinomial, calculando as três variáveis individualmente. Não deu certo.

Depois, resolvi abrir por binômio de Newton, também não cheguei longe.

Outra ideia que havia pensado foi tentar aplicar algumas somas de Newton (já que essa questão é de uma lista de polinômios), supondo aquelas variáveis como raízes de um polinômio de terceiro grau. Até estava indo, mas também não consegui chegar a uma resposta.

por **Giovana Martins** Qua 08 Nov 2023, 21:41

Achei o enunciado um pouquinho esquisito, mas creio que seja o que segue.

Seja o polinômio P(x) = x³ + 5x + 2.

Sejam α, β e γ raízes de P(x). Logo:

α³ + 5α + 2 = 0

β³ + 5β + 2 = 0

γ³ + 5γ + 2 = 0

Por Girard em P(x) obtemos a seguinte relação: α + β + γ = 0 tendo em vista que α, β e γ são raízes de P(x).

Ou seja, o sistema, na verdade, serve como dica para você saber que α, β e γ são raízes de P(x), porém, ele acaba enganando um pouco, porque ele induz uma resolução via fatoração ou produtos notáveis.

Bom, penso que seja isto.

por Zeroberto Qua 08 Nov 2023, 21:46

Caramba, faz muito sentido. No fundo, a resposta estava dentro do próprio comando.

Que visualização boa, Giovana. Muito obrigado pela ajuda!

por **Giovana Martins** Qua 08 Nov 2023, 21:49

Zeroberto escreveu:
Caramba, faz muito sentido. No fundo, a resposta estava dentro do próprio comando.

Que visualização boa, Giovana. Muito obrigado pela ajuda!

O enunciado é bem sem vergonha kkkkk. Na hora da prova, que a gente está com o nervosismo aflorado, a gente nem vê kkkk.

por Zeroberto Qua 08 Nov 2023, 21:53

Giovana Martins escreveu:
O enunciado é bem sem vergonha kkkkk. Na hora da prova, que a gente está com o nervosismo aflorado, a gente nem vê kkkk.

Realmente, caí feito um pato kkkkkkk.

Pra ajudar, essa questão ainda é a última da lista inteira de polinômios, então a expectativa de que ela fosse uma questão muito difícil era alta kkkkk