Sistema com polinômios
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Sistema com polinômios
Se \( \alpha \;, \beta \; e \; \gamma \) são números complexos tais que:
\( \begin{cases} \alpha ^3 + 5\alpha + 2 = 0\\ \beta^3 + 5\beta + 2 = 0 \\ \gamma ^3 + 5\gamma + 2 = 0 \end{cases} \)
Então \( \alpha + \beta + \gamma\) é:
a) 15
b) 23
c) 6
d) -15
e) zero
\( \begin{cases} \alpha ^3 + 5\alpha + 2 = 0\\ \beta^3 + 5\beta + 2 = 0 \\ \gamma ^3 + 5\gamma + 2 = 0 \end{cases} \)
Então \( \alpha + \beta + \gamma\) é:
a) 15
b) 23
c) 6
d) -15
e) zero
Zeroberto- Jedi
- Mensagens : 381
Data de inscrição : 14/12/2022
Idade : 19
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Giovana Martins gosta desta mensagem
Re: Sistema com polinômios
Um possível caminho é calcular (α + β + γ)³ e depois fatorar.
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 72766
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 78
Localização : Santos/SP
Giovana Martins gosta desta mensagem
Re: Sistema com polinômios
Infelizmente não consegui chegar muito longe, Elcio. Tentei mais cedo e não obtive sucesso.
Quando vi sua mensagem, tentei desenvolver por uma expansão multinomial, calculando as três variáveis individualmente. Não deu certo.
Depois, resolvi abrir por binômio de Newton, também não cheguei longe.
Outra ideia que havia pensado foi tentar aplicar algumas somas de Newton (já que essa questão é de uma lista de polinômios), supondo aquelas variáveis como raízes de um polinômio de terceiro grau. Até estava indo, mas também não consegui chegar a uma resposta.
Quando vi sua mensagem, tentei desenvolver por uma expansão multinomial, calculando as três variáveis individualmente. Não deu certo.
Depois, resolvi abrir por binômio de Newton, também não cheguei longe.
Outra ideia que havia pensado foi tentar aplicar algumas somas de Newton (já que essa questão é de uma lista de polinômios), supondo aquelas variáveis como raízes de um polinômio de terceiro grau. Até estava indo, mas também não consegui chegar a uma resposta.
Zeroberto- Jedi
- Mensagens : 381
Data de inscrição : 14/12/2022
Idade : 19
Localização : Jaguariaíva - PR
Re: Sistema com polinômios
Achei o enunciado um pouquinho esquisito, mas creio que seja o que segue.
Seja o polinômio P(x) = x³ + 5x + 2.
Sejam α, β e γ raízes de P(x). Logo:
α³ + 5α + 2 = 0
β³ + 5β + 2 = 0
γ³ + 5γ + 2 = 0
Por Girard em P(x) obtemos a seguinte relação: α + β + γ = 0 tendo em vista que α, β e γ são raízes de P(x).
Ou seja, o sistema, na verdade, serve como dica para você saber que α, β e γ são raízes de P(x), porém, ele acaba enganando um pouco, porque ele induz uma resolução via fatoração ou produtos notáveis.
Bom, penso que seja isto.
Última edição por Giovana Martins em Qua 08 Nov 2023, 21:52, editado 1 vez(es)
Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 8137
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 23
Localização : São Paulo
Zeroberto gosta desta mensagem
Re: Sistema com polinômios
Caramba, faz muito sentido. No fundo, a resposta estava dentro do próprio comando.
Que visualização boa, Giovana. Muito obrigado pela ajuda!
Que visualização boa, Giovana. Muito obrigado pela ajuda!
Zeroberto- Jedi
- Mensagens : 381
Data de inscrição : 14/12/2022
Idade : 19
Localização : Jaguariaíva - PR
Giovana Martins gosta desta mensagem
Re: Sistema com polinômios
Zeroberto escreveu:Caramba, faz muito sentido. No fundo, a resposta estava dentro do próprio comando.Que visualização boa, Giovana. Muito obrigado pela ajuda!
O enunciado é bem sem vergonha kkkkk. Na hora da prova, que a gente está com o nervosismo aflorado, a gente nem vê kkkk.
Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 8137
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 23
Localização : São Paulo
Re: Sistema com polinômios
Realmente, caí feito um pato kkkkkkk.Giovana Martins escreveu:O enunciado é bem sem vergonha kkkkk. Na hora da prova, que a gente está com o nervosismo aflorado, a gente nem vê kkkk.
Pra ajudar, essa questão ainda é a última da lista inteira de polinômios, então a expectativa de que ela fosse uma questão muito difícil era alta kkkkk
Zeroberto- Jedi
- Mensagens : 381
Data de inscrição : 14/12/2022
Idade : 19
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Giovana Martins gosta desta mensagem
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