FME 9 questão 188

Da figura, sabemos que  AB = AC , Â = 100° e AD = BC. Determine x


gabarito: x = 10º

edit: olha eu fiz aqui, mas eu fiz usando lei dos senos e umas conversões não sei se seria o intuito 

se ninguém postar como faz geometricamente eu posto minha solução algebrica

Começando:

Triângulo ABC é isósceles (AB = AC) ---> A^BC = A^CB = θ --->

A^BC + A^CB + BÂC = 180º ---> θ + θ + 100º = 180º ---> = 40º

B^CD = 180º - A^CB ---> B^CD = 180º - 40º ---> B^CD = 140º  

B^DC + B^CD + C^BD = 180º ---> B^DC + 140º + x = 180º ---> B^DC = 40º - x

Elcioschin escreveu:Começando:

Triângulo ABC é isósceles (AB = AC) ---> A^BC = A^CB = θ --->

A^BC + A^CB + BÂC = 180º ---> θ + θ + 100º = 180º ---> = 40º

B^CD = 180º - A^CB ---> B^CD = 180º - 40º ---> B^CD = 140º  

B^DC + B^CD + C^BD = 180º ---> B^DC + 140º + x = 180º ---> B^DC = 40º - x

Também cheguei na relação  →  B^DC = 40^o - x  →  mas não encontrei nenhum método geométrico que fornecesse o valor de x. Alguém tem alguma ideia?

Essa questão do FME é uma das poucas que me causa extrema repugnância. A ideia sugerida pelo autor é tão antinatural e forçada, que eu não consigo sentir nada senão raiva.
Conforme sugerido, você deve construir o triângulo ABP equilátero da seguinte forma:

No triângulo PAD gerado, temos: lado a, ângulo 40°, lado a+b. No ABC, a, 40°, a + b
=> PAD congruente a ABC por LAL => PD = a, APD = 100°.
Por um lado, DPB é isósceles => PDB = PBD = 10°. Por outro, 60° = ABP = 40° + x + 10° => x = 10°.
Depois de construído tudo bonitinho, talvez alguém até pense "nossa, que ridículo, como eu não pensei nisso antes?". A resposta mais curta é que isso talvez não seja tão ridículo assim.

Vou escrever uma solução trigonométrica que ao meu ver é bem mais natural (só não mais elegante ou veloz):
Como discutido, ABD = 40 + x e ADB = 40 - x.
No ABC, 
a/sen40° = (a+b)/sen100° => (a+b)/a = sen100°/sen40° = sen80°/sen40° = 2sen40°cos40°/sen40° = 2cos40°.

No ABD,
a/sen(40°-x) = (a+b)/sen(40°+x) => (a+b)/b = sen(40°+x)/sen(40°-x)

Logo, 
sen(40°+x)/(sen40°-x) = 2cos40° => sen(40°+x) = 2sen(40°-x)cos40° = sen(80°-x) - sen(x)

Agora, eu abro tudo: 
sen(40°)cos(x) + sen(x)cos(40°) = sen(80°)cos(x) - sen(x)cos(80°) - sen(x)

Seja t a tangente de x => sen(40°) + tcos(40°) = sen(80°) - tcos(80°) - t => t = [sen(80°) - sen(40°)]/[1 + cos(40°) + cos(80°)]

Por partes.
Numerador: sen(80°) - sen(40°) = 2sen(20°)cos(60°) = sen(20°)
Denominador: 1 + cos(40°) + cos(80°) = 1 + 2cos(20°)cos(60°) = 1 + cos(20°) = 1 + 2cos²(10°) - 1 = 2cos²(10°)
Ora, t = sen(20°)/2cos²(10°) = 2sen(10°)cos(10°)/2cos²(10°) = sen(10°)/cos(10°) = tan(10°). Como x é do primeiro ou segundo quadrantes e a tangente nesse intervalo é injetora, deve tan(x) = tan(10°) => x = 10°.