Polinômios

(Mackenzie 97) Relativamente à equação x³ + x -7 = 0, considere as afirmações a seguir. 

I. Não admite raízes racionais. 
II. A única raiz real α é  tal que 1 < α < 2. 
III. A soma dos quadrados das raízes é -2. 

Então: 
a) somente I e II são verdadeiras. 
b) somente I e III são verdadeiras. 
c) somente II e III são verdadeiras. 
d) todas são verdadeiras. 
e) todas são falsas. 

Resposta: d

I) Teorema das raízes racionais: se tal polinômio admite raízes racionais da forma p/q, então -7 é divisível por p e 1 (coef. do termo de maior grau) é divisível por q.

- possíveis valores de p: (±1, ±7)
- possíveis valores de q: (±1)
- possíveis valores de p/q: (1, -1, 7, -7)

Verificamos que nenhum destes quatro valores é raíz do polinômio, logo, o mesmo não apresenta raízes racionais.


II) P(1) < 0 e P(2) > 0
Com isso, concluímos que o gráfico corta o eixo x em um ponto deste intervalo, ou seja, há uma raiz entre 1 e 2.


III) Sejam as raízes: (a, b e c)

(a+b+c)² = a² + b² + c² + 2(ab + ac + bc)
a² + b² + c² = (a+b+c)² - 2(ab + ac + bc) = 0² - 2.1 = -2

Valeu aí cara, só não tinha entendido o terceiro item. Creio que eu estava muito cansado e nem tinha reparado que a solução era tão simples assim. Mesmo assim, obrigado.