Inequações e gráfico

Considere o sistema de inequações:
\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}-2x\geq 0\\ 
(x-1)^{2} + (y-\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}\leq \frac{1}{4}
\end{matrix}\right.

a) Represente graficamente a solução desse sistema de inequações.
b) Calcule a área da superfície que representa a solução. (R=\frac{6\sqrt{3}-\pi}{24} unidades de área)

Dúvida: achei que a solução fosse a intersecção e não a meia-lua aqui representada no Objetivo: (peço que me expliquem)

A área procurada é externa ao círculo maior e interna ao círculo menor: é a área Sm da meia lua escura

Para calcular a  área, seja A e B os pontos de interseção das duas circunferências:

A(1/2, √3/2) ---> B(3/2, √3/2) ---> C(1, 0) ---> C'(1,√3/2)

Calcule a área Ss do segmento circular AC'BA do círculo maior:

Ss = S(setor CAB) - S(triângulo CAB)

Sm = (1/2).S(do círculo menor ) - Ss

Obrigado, sr. Elcio!

Só estou com mais uma dúvida: como é que eu iria saber que o exercício quer a área externa ao círculo maior e não a interna? Possui ligação com as inequações?

Sim.

x²+y²≤R²: hachura a parte interna.

x²+y²≥R²: hachura a parte externa.

É só você pensar no seguinte: a inequação x²+y²≤R² nos sugere o seguinte: qual é o par ordenado (x,y) tal que a soma dos quadrados das coordenadas é menor ou igual a raio ao quadrado? Por isso hachuramos a parte interna, pois neste caso só os pares ordenados internos e contidos (pois a desigualdade é menor ou igual) na circunferência satisfazem o que foi sugerido. Para a inequação x²+y²≥R² a ideia é a mesma. A única diferença agora é que queremos todos os pares ordenados tais que a soma dos quadrados das coordenadas seja maior ou igual ao raio ao quadrado. O que satisfaz isso são os pares localizados na região externa à circunferência, bem como os pares ordenados situados sobre a circunferência (pois a desigualdade é maior ou igual). Caso tivéssemos a situação x²+y²>R², a circunferência deveria ser tracejada para indicar que os pontos contidos na circunferência não fazem parte da solução, afinal, para todo (x,y) ∈ x²+y²>R² tem-se x²+y²=R² e para x²+y²>R² queremos apenas os pares (x,y) tais que a soma dos quadrados das coordenadas seja maior que o quadrado do raio.

Caso tenha ficado confuso, é só falar que eu tento melhorar a explicação.

Finalmente entendi!!! Valeu mesmo, Giovana! Resposta mais que completa!

De nada!!! Que bom que entendeu .

Uma situação que eu esqueci de postar. Seja a região x²+y²<1. Essa região é estabelecida como sendo a que segue.

Genial mesmo! Obrigado novamente

Excelente didática têm as suas explicações, Giovana...