(Canadá Preparação IMO-2000)
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(Canadá Preparação IMO-2000) É possível
dividir os números naturais 1, 2, ..., n em dois
grupos disjuntos, tais que os quadrados dos
membros em cada grupo possuem a mesma soma
se (a) n = 40000; (b) n = 40002?
dividir os números naturais 1, 2, ..., n em dois
grupos disjuntos, tais que os quadrados dos
membros em cada grupo possuem a mesma soma
se (a) n = 40000; (b) n = 40002?
Alexandre ORibeiro- Iniciante
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Data de inscrição : 17/07/2024
Re: (Canadá Preparação IMO-2000)
Alexandre ORibeiro escreveu:(Canadá Preparação IMO-2000) É possível dividir os números naturais 1, 2, ..., n em dois grupos disjuntos, tais que os quadrados dos membros em cada grupo possuem a mesma soma se:
(a) n = 40000;
(b) n = 40002
?
Seja o conjunto A = {1, 2, 3, 4, ......, n}
e seja a soma dos elementos de A ---> S = 1² + 2² + 3³ + 4² + ....... + n²
das parcelas desta soma queremos formar dois conjuntos disjuntos cuja soma deles seja igual, ou seja, cada um destes conjuntos formado terá soma igual a S/2. Como todos os elementos de A e todas as parcelas de S pertencem ao conjunto dos números naturais, então S será um nº natural e deverá ser divisível por 2 para que seja possível a pergunta do item (a) ou (b).
teorema: a soma das potências de grau k dos n primeiros termos de uma P.A. é um polinômio de grau (k+1) em n.
Assim, teremos
1² + 2² + 3³ + 4² + ..... + n² = An³ + Bn² + Cn + D
e para n = {1, 2, 3, 4}A + B + C + D = 1
8A + 4B + 2C + D = 5
27A + 9B + 3C +D = 14
64A + 16B + 4C + D = 30
resolvendo o sistema, temos: A = 1/3 ; B = 1/2 ; C = 1/6 ; D = 08A + 4B + 2C + D = 5
27A + 9B + 3C +D = 14
64A + 16B + 4C + D = 30
assim, substituindo no polinômio original:
\( S = 1²+2²+3²+4² +.......+ n² = \frac{n³}{3}+\frac{n²}{2}+\frac{n}{6} = \frac{1}{6}\cdot n(n+1)(2n+1) \)
Agora, por pura preguiça de escrever muito, usarei a força bruta.
(a) Para n = 40 000:
\( S = \frac{128\, 004\, 800\, 040\, 000}{6} = 21\, 334\, 133\, 340\, 000 \)
logo S é par e divisível por 2, portanto deve ser possível separar os elementos de A em dois conjuntos disjuntos de mesma soma dos quadrados dos seus elementos.(b) Para n = 40 002:
\( S = \frac{128\, 024\, 001\, 480\, 030}{6} = 21\, 337\, 333\, 580\, 005 \)
logo S não é divisível por 2 e neste caso a resposta deve ser NÃO.
Medeiros- Grupo
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