(Canadá Preparação IMO-2000)

(Canadá Preparação IMO-2000) É possível
dividir os números naturais 1, 2, ..., n em dois
grupos disjuntos, tais que os quadrados dos
membros em cada grupo possuem a mesma soma
se (a) n = 40000; (b) n = 40002?

Alexandre ORibeiro escreveu:(Canadá Preparação IMO-2000) É possível dividir os números naturais 1, 2, ..., n em dois grupos disjuntos, tais que os quadrados dos membros em cada grupo possuem a mesma soma se:
(a) n = 40000;
(b) n = 40002
?

Seja o conjunto A = {1, 2, 3, 4, ......, n}
e seja a soma dos elementos de A ---> S = 1² + 2² + 3³ + 4² + ....... + n²
das parcelas desta soma queremos formar dois conjuntos disjuntos cuja soma deles seja igual, ou seja, cada um destes conjuntos formado terá soma igual a S/2. Como todos os elementos de A e todas as parcelas de S pertencem ao conjunto dos números naturais, então S será um nº natural e deverá ser divisível por 2 para que seja possível a pergunta do item (a) ou (b).

teorema: a soma das potências de grau k dos n primeiros termos de uma P.A. é um polinômio de grau (k+1) em n.

Assim, teremos
e para n = {1, 2, 3, 4}
resolvendo o sistema, temos: A = 1/3 ;  B = 1/2 ;  C = 1/6 ;  D = 0
assim, substituindo no polinômio original:

Agora, por pura preguiça de escrever muito, usarei a força bruta.

(a) Para n = 40 000:
logo S é par e divisível por 2, portanto deve ser possível separar os elementos de A em dois conjuntos disjuntos de mesma soma dos quadrados dos seus elementos.

(b) Para n = 40 002:
logo S não é divisível por 2 e neste caso a resposta deve ser NÃO.