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Se a,b e c são as raízes da equação x³ - x² - x -1 = 0

I. Mostre que a, b e c são distintas; 

II. Mostre que \frac{a^{1982}-b^{1982}}{a-b} + \frac{b^{1982}-c^{1982}}{b-c} + \frac{c^{1982}-a^{1982}}{c-a}  é um número inteiro.

*Obs: No item I, imagino que basta verificar que as raízes de 3x² -2x -1 = 0 não são raízes da equação, porém, não estou conseguindo provar o item II.

vitorrochap2013Se a,b e c são as raízes da equação x³ - x² - x -1 = 0

I. Mostre que a, b e c são distintas; 

II. Mostre que \frac{a^{1982}-b^{1982}}{a-b} + \frac{b^{1982}-c^{1982}}{b-c} + \frac{c^{1982}-a^{1982}}{c-a}  é um número inteiro.

*Obs: No item I, imagino que basta verificar que as raízes de 3x² -2x -1 = 0 não são raízes da equação, porém, não estou conseguindo provar o item II.

Irei simplificar. Fiz algumas contas para o cálculo da raiz, depois posto.

Você vai ter que achar a raiz dessa equaçao que vai estar em forma de uma raiz cubica. Depois disso, considerando que todo numero real possui 3 raizes cubicas, voce prova a I. Mas no II iremos usar somente numeros complexos porque essa equaçao cubica tem mais de uma raiz, logo, mais que 2 numeros complexos como raizes cubicas. E porque a II não funciona com número real e numero complexo juntos.

Agora vamos para a II

Toda raiz cubica complexa de um numero real tem como formato (a + bi) e (a - bi), sendo a positivo ou negativo, isso você identifica intuitivamente até mesmo no Wolfram.

Portanto, teriamos essas raizes elevadas a um numero par e divididas por sua subtração. Vamos começar simulando uma subtraçao entre numeros complexos.

a+bi - (a-bi) = 2bi

(a+bi)^2 - (a-bi)^2 = 4bi
(a-bi)^2 - (a+bi)^2 = -4bi

4bi/2bi = 2, portanto, um numero inteiro, ou -4bi/2bi = -2, outro numero inteiro

Fala nick! 

Valeu pelo comentário, mas o fato de funcionar para o expoente 2 não implica que vale para qualquer expoente par, teria que provar isso por indução...

Teorema de Bolzano:

x = 1 ---> f(1) = - 2
x = 2 ---> f(2) = + 1

Existe uma raiz real no intervalo ]1, 2[

Basta provar que as outras duas raízes são complexas. Se forem, as três raízes são diferentes.

Elcioschin escreveu:Teorema de Bolzano:

x = 1 ---> f(1) = - 2
x = 2 ---> f(2) = + 1

Existe uma raiz real no intervalo ]1, 2[

Basta provar que as outras duas raízes são complexas. Se forem, as três raízes são diferentes.

Excelente saída por bolzano, mestre, tbm poderia verificar que as raízes do polinômio  f ' (x) não são raízes de f(x), logo, f(x) não possuí raiz dupla nem tripla. O problema está no item II, acredito que deve sair por somas de newton...

Pela formula Cardano-Tartaglia reduzida, é intuitivo perceber que terá no mínimo 3 numeros complexos dentre as raízes.

x^3 + x^2 + x + 1 = 0
Sendo x= k-1

(k-1)^3 + (k-1)^2 + (k-1) + 1 = 0

Desenvolvendo - k^3 - 2y^2 + 2y = 0

Para esse tipo de equação a solução vem por



Depois a II é de acordo com que eu informei. Existe um padrão nas raízes complexas de número reais.

Fala nick (dnv), 

Acredito que sua resolução não está correta ... Veja:

Essa não é a equação do enunciado: x^3 + x^2 + x + 1 = 0. Mas, tbm, a fórmula de tartaglia não é válida para esse tipo de equação do terceiro grau (completa), a não ser que consigamos usar alguma transformada polinomial para chegar em algo do tipo: y³ + ay + b.

"Depois a II é de acordo com que eu informei. Existe um padrão nas raízes complexas de número reais." Qual padrão nick? Pelo que entendi, você fez para o caso em que o expoente é 2, somente.

Então leia sobre redução de quadrados com cardano-tartaglia, porque isso é muito comum nesse tipo de cálculo.

E se você quer resolver a II com algum tipo de somatório, acredito que não vai ser possível. Esse tipo de questão olímpica não se resolve assim. Estava apenas indicando o desenvolvimento com expoentes pares.

Mas não vou comentar nesse tópico. Encerro.

Agradeço mesmo assim, pela tentativa.

Na construção do gráfico do item I) você consegue mostrar que só existe 1 raiz real. Com a derivada você prova que a função explode pra -inf e +inf, o que resulta em não tocar mais o eixo x, logo as outras 2 raízes são complexas e todas são diferentes.

No item II) tenho q pensar mais