Geometria Analítica/região do plano

Uma companhia do setor químico fabrica um produto a partir de dois componentes químicos, A e B. Cada quilograma de A contém 4 gramas da substância S1, 1 grama da substância S2, 1 grama da substância S3, e custa R$ 30,00 para a companhia. Cada quilograma de B contém 1 grama da substância S1, 2 gramas da substância S2, não contém a substância S3, e custa R$ 20,00 para a companhia. O produto fabricado deve conter uma mistura de, pelo menos, 20 gramas da substância S1, 10 gramas da substância S2, e 2 gramas da substância S3. Adote na resolução do problema a letra x para a quantidade do componente A (em quilogramas), y para a quantidade do componente B (em quilogramas), e C para o custo total do produto fabricado, em reais. 

a) Liste três pares ordenados (x, y), com x e y inteiros positivos, que atendam simultaneamente a todas as restrições do problema. Em seguida, calcule o valor de C para cada um dos três pares (x, y) listados. 


b) Determine o par ordenado (x, y), com x e y racionais, que atenda simultaneamente a todas as restrições do problema e para o qual C atinja o menor valor possível. Em seguida, determine C, que tam - bém será um número racional, para o par ordenado (x, y) solicitado

Spoiler:

Travei no item B... Não faço ideia de como resolver...Alguma luz...?!

Vamos estabelecer as equações que regem S₁, S₂, S₃. Pelas quantidades necessárias de cada substância, podemos dizer que:

S₁ = 4x + y ≥ 20
S₂ = x + 2y ≥ 10
S₃ = x ≥ 2

Note que x necessariamente deve ser maior ou igual a 2. Ademais, veja que se x = 10, todas as condições já ficam satisfeitas, independentemente de y. Destarte, para evitar desperdícios, x é, no máximo, igual a 10. Sendo assim:

2 ≤ x ≤ 10

Para melhor análise, vamos isolar o y nas duas primeiras equações.

y ≥ 20 - 4x  (I)
y ≥ (10 - x)/2  (II)

O custo de produção será dado por:

C = 30x + 20y

Para o menor custo possível, y sempre precisará ser igual a alguma das equações (I) ou (II), pois, caso y fosse maior, estaríamos apenas aumentando o custo de produção desnecessariamente, uma vez que as condições já poderiam ser satisfeitas com um y menor.

Mas ainda devemos descobrir a qual das equações y deve se igualar. Isso irá depender de qual das equações é a maior, visto que, se igualarmos y a equação menor, então este y não irá satisfazer a outra equação. Sendo assim, vamos verificar para qual x qual equação é maior que qual.

20 - 4x ≥ (10 - x)/2
x ≤ 30/7

Portanto, quando 2 ≤ x ≤ 30/7, devemos igualar y à equação (I), isto é, y = 20 - 4x. Já para 30/ 7 < x ≤  10, y será igual à equação (II).

Substituindo na equação do custo para y = 20 - 4x:

C = 30x + 20(20 - 4x)
C = 400 - 50x

Evidentemente, o custo será o menor possível para x = 30/7, assim:

C = 400 - 50(30/7) = 1300/7 reais

Para o outro caso, substituímos na equação do custo para y = (10 - x)/2:

C = 30x + 20(10 - x)/2
C = 20x + 100

O custo será mínimo para x tendendo a 30/7, assim:

C = 20(30/7) + 100 = 1300/7 reais

À vista disso, o custo C será de fato 1300/7 reais, sendo x = 30/7 e y = 20/7.