Geometria - Espelho Plano

"Heron interessava-se por mensuração em todas as formas - na Óptica e na Mecânica, tanto quanto na Geodésia. A lei de reflexão da luz já era conhecida por Euclides e Aristóteles (possivelmente também por Platão), mas foi Heron quem mostrou por um argumento geométrico simples, numa obra chamada Catóptrica (ou reflexão), que a igualdade dos ângulos de incidência e reflexão é uma consequência do princípio aristotélico que diz que a natureza nada faz de modo mais difícil."

(C. Boyer. História da Matemática, Ed. Edgard Blucher.)



Com base no descrito acima, consideramos uma fonte luminosa em L (1, 3), o olho de um observador em A (5, 4) e um espelho plano sobre OX, conforme a figura.



A esse respeito, julgue os itens.

(1) A distância percorrida pelo raio luminoso, que sai de L, reflete no espelho e chega a A é igual a 8 u.

(2) A abscissa de P é 19/7.

(3) A reta r: 4X-7Y=0 é perpendicular à reta suporte AP.

(4) O ângulo é maior que 60º.

(5) Mantendo L na posição original e afastando A 3 u, paralelamente ao espelho, teremos = 90º.

Spoiler:

L(xL, yL) ; A(xA, yA) ; P(xpP, 0)

(1) Ângulo L^PO = A^Px ---> tg(L^PO) = tg(A^Px) ---> yL/(xP - xL) = yA/ (xA - xP) ---->

3/(xP - 1) = 4/(5 - xP) ----> 4xP - 4 = 15 - 3xP ----> 7xP = 19 ----> xP = 19/7 ----> Alt (2) CERTA

(2) LP + AP = \/[(xP - xL)² + (yP - yL)²] + \/[(xA - xP)² + (yA - yP)²] ---->

LP + LA = \/[(19/7 - 1)² + (0 - 3)²] + \/[(5 - 19/7)² + (4 - 0)²]

LA + LP <> 8 ---> Alt (1) Errada

(3) Reta AP ---> y - yP = [(yA - yP)/(xA - xP)]*(x - xP) ---> y - 0 = (4 - 0)/(5 - 19/7)]*(x - 19/7) --->

y = (7/4)*(x - 19/7) ----> x = (7/4)*x - 19/4 ----> m = 7/4

Reta 4x - 7y = 0 ---> y = (4/7)*x -----> m' = 4/7 ----> m*m' = 1

Perpendiculares ----> m*m' = - 1 ----> Alt (3) Errada

(4) tgL^PO = yL/(xP - xL) = 3/(19/7 - 1) = 7/4 > 1 ----> L^PO > 45º

A^PO + L^PO > 90º ----> alfa < 90º ----> Alt (4) Errada

(5) L(3, 1) ; A(8, 4) ; P(xP, 0)

3/(xP - 1) = 4/(8 - xP) ----> 4xP - 4 = 24 - 3xP ----> 7xP = 28 ----> xP = 4

tg(L^PO) = yL/(xP - xL) = 3/(4 - 1) = 1 ---> L^PO = 45º ---> Q^Px = 45º ---> LPA = 90º ---> Alt (5) CERTA