Equação no plano, Geometria analítica
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Equação no plano, Geometria analítica
por VitorLeonam137 Qua 24 Nov 2021, 16:36
Determine a equação do plano que passa pelo ponto P = (2, 1, 3) e é pérpendicular aos planos:
∏ 1 : x + 2y − 3z + 2 = 0 e ∏ 2 : 2x − y + 4z − 1 = 0
∏ 1 : x + 2y − 3z + 2 = 0 e ∏ 2 : 2x − y + 4z − 1 = 0
VitorLeonam137- Iniciante
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Re: Equação no plano, Geometria analítica
por Emanuel Dias Dom 05 Dez 2021, 16:20
Olá.
Seja [latex]\pi_1[/latex] o conjunto dos pontos que pertence ao plano [latex]\pi_1[/latex]. Podemos descrever esse plano simplesmente informando todos os vetores que são perpendiculares a ele, não concorda?
Seja
P=(x,y,z) [latex]\in \pi_1[/latex], [latex]O=(x_0,y_0,z_0) [/latex] e [latex]\vec{n}=(a,b,c)[/latex]
Onde [latex]\vec{n}[/latex] é um vetor perpendicular ao plano. Como
[latex]\vec{OP} \cdot \vec{n}=0[/latex]
temos
[latex]a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0 \Rightarrow ax+by+cz=ax_0+by_0+cz_0[/latex]
Defina
[latex]d:=ax_0+by_0+cz_0[/latex]
temos a equação do plano
[latex]ax+by+cz+d=0[/latex]
Portanto os coeficientes da equação do plano forma um vetor perpendicular ao plano! Como [latex]\pi_1[/latex] é perpendicular ao plano Q que queremos obter, [latex]\vec{v}=(1,2,-3) \in Q[/latex].
Lembre-se que precisamos de 2 vetores LI para descrever o plano, já temos um, da mesma forma, pegamos o vetor [latex]\vec{h}=(2,-1,4) \in Q[/latex]. Temos o segundo. Logo, a equação do plano Q é dado por
[latex]Q=(2,1,3)+\lambda_1(1,2,-3)+\lambda_2(2,-1,4)[/latex]
Isto é
5x-10y-5z+15=0
Você pode verificar que isso de fato ocorre, fazendo o produto escalar de (5,-10,-5) com (1,2,-3) e (2,-1,4), todos dão zero, e inserir o ponto na equação do plano, também dando zero.
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