equação cartesiana do plano

temos:

p1: x - y + z + 1 = 0

p2: x + y - z - 1 = 0

interseção:

x - y + z + 1 = 0

x + y - z - 1 = 0
--------------------
2x = 0 => x = 0

( x, y, z ) = ( 0, y , y - 1 )

atribuindo valores a y temos:

para y = 0 -> ponto A( 0, 0, - 1 )

para y = 1 -> ponto B( 0, 1, 0 )
...................................-->
Então, um vetor diretor de AB será:
-->
AB = ( 0, 1, 1 )

o vetor diretor da reta será também normal ao plano p3

sendo M o ponto de p3 temos:
..................->
vetor normal: v = (0, 1,1 )

ponto M( 3, 0, - 4 )

p3: 0*( x - 3 ) + 1*( y - 0 ) + 1*( z + 4 ) = 0

y + z + 4= 0

O ponto A( 0, 0, - 1 ) não é um ponto de P3, pois p3 : x + 2y + 2z - 2 = 0 logo: (x,y,z)=(0,0,-1), temos:
(0)+2(0)+2(-1)-2=0 ==> -4=0 que é uma desingualdade. Logo A não é um ponto de P3.
Outra dúvida onde você utilizou o P3 na suas contas?

Olá Alexandre,

Agradeço as observações feitas, realmente cometi erro na resolução.

Os pontos A e B não pertencem necessariamente ao plano procurado ( p3 ), eles foram determinados para que se pudesse chegar ao vetor diretor da reta de interseção, quem deve pertencer ao plano (p3) é o ponto dado M(3, 0, -4).
Vou editar em vermelho onde errei, espero que esteja correto.

Aproveito para desculpar-me com o Nano por tê-lo induzido ao erro.

Mestre!!! Boa Tarde!!!

Deve estar havendo algum erro no enuciado desta questão.
Vê se o enuciado é esse?
Dados os planos π1: x-y+z+1=0 , π2:x+y-z-1=0 e π3:x+2y+2z-2=0, ache uma equação cartesiana do plano π que contêm
π1 ∩ π2 e é perpenticular a π3? ou seja, π=(π1 ∩ π2)⊥π3
Caso o enuciado da questão que o mestre respondeu seja diferente desta que eu coloquei, poderia o senhor me dar uma solução para este problema, já que a resposta é bem proxima daquela que o mestre colocou.

Grato e um forte abraço!!!

Olá Alexandre,

Agora fiquei confuso, este último enunciado que vc postou é o enunciado de uma outra questão postada aqui no fórum e que eu ainda não cheguei a uma solução.

Obrigado pela atenção.

Um abraço.

o plano que queremos determinar é o plano: ax + by + cz + d = 0,
cujo vetor normal é v = (a, b, c)

como o esse plano é perpendicular aos planos 2x + y - z = 0 e x + 3y - z + 12=0, cujos vetores normais são os coeficientes de x, y e z, ou seja, (2, 1, -1) e (1, 3, -1), o produto interno de v e desse vetores deve dar 0.

logo:
(a, b, c)*(2, 1, -1) = 2a + b - c = 0
(a, b, c)*(1, 3, -1) = a + 3b - c = 0

subtraindo uma equação da outra:
a -2b = 0 --> a = 2b

como 2a + b - c = 0, substituindo: 4b + b - c = 0 --> c = 5b
logo, v = (2b, b, 5b) = b(2, 1, 5)
como que para a contrução da equação do plano só nos interessa a direção do vetor v, e não seu módulo, podemos considerar qualquer valor de b, como 1, por exemplo. assim podemos adotar o vetor v = (2, 1, 5) como vetor normal ao plano. substituindo na equação do plano:

2x + y +5z - d = 0
substituindo os valores do ponto M = (3, 0, 4), determinamos d:
6 +20 + d = 0 --> d = -26

logo, a equação do plano que queremos determinar é:
2x + y +5z + 26 = 0

Nano escreveu:

o plano que queremos determinar é o plano: ax + by + cz + d = 0,
cujo vetor normal é v = (a, b, c)

como o esse plano é perpendicular aos planos 2x + y - z = 0 e x + 3y - z + 12=0, cujos vetores normais são os coeficientes de x, y e z, ou seja, (2, 1, -1) e (1, 3, -1), o produto interno de v e desse vetores deve dar 0.

logo:
(a, b, c)*(2, 1, -1) = 2a + b - c = 0
(a, b, c)*(1, 3, -1) = a + 3b - c = 0

subtraindo uma equação da outra:
a -2b = 0 --> a = 2b

como 2a + b - c = 0, substituindo: 4b + b - c = 0 --> c = 5b
logo, v = (2b, b, 5b) = b(2, 1, 5)
como que para a contrução da equação do plano só nos interessa a direção do vetor v, e não seu módulo, podemos considerar qualquer valor de b, como 1, por exemplo. assim podemos adotar o vetor v = (2, 1, 5) como vetor normal ao plano. substituindo na equação do plano:

2x + y +5z - d = 0
substituindo os valores do ponto M = (3, 0, 4), determinamos d:
6 +20 + d = 0 --> d = -26

logo, a equação do plano que queremos determinar é:
2x + y +5z + 26 = 0.

Olá desculpem-me minha ausência temporária.
Acredito que a resposta do Alexandre esteja inteiramente correta.

Obrigado pela ajuda senhores.

Olá Alexandre,

Muito boa solução, fiquei apenas com uma dúvida nesta passagem:

"substituindo os valores do ponto M = (3, 0, 4), determinamos d:
6 +20 + d = 0 --> d = -26"

o ponto M tem coordenadas (3, 0, - 4 )
Um abraço.