Equação complexa

por wadekly Dom 18 Ago - 23:04

Provar que uma das raízes da equação, $Equação complexa Gif$ , é $Equação complexa Gif$

Spoiler:

por **Giovana Martins** Dom 18 Ago - 23:13

Utilizei a mesma ideia desta questão: N. Complexos.

Para z = 0.5√3 + 0.5i tem-se θ = ∏/6.

Por De Moivre: z⁵ = 1⁵cis(5∏/6) = - 0.5√3 + 0.5i.

Da equação 2z⁵ + √3 = i:

2(- 0.5√3 + 0.5i) + √3 = i → - √3 + i + √3 = i ∴ i = i

Note que a igualdade se verifica, logo, z⁵ = - 0.5√3 + 0.5i é raiz da igualdade.

por wadekly Seg 19 Ago - 0:36

SENSACIONAL, Grande Mestra... É MUITÍSSIMO interessante perceber que a raíz complexa (cuja verificação você demonstrou) proposta pela questão com possível solução teve o argumento mudado de 30° para 150° ao ser elevada a quinta potência... Isso poderia servir como algum indício para prever a resposta correta em uma questão objetiva em que não se dispõe de muito tempo para resolvê-la, por exemplo...?! Ou isso seria excesso de imaginação de minha parte...?!

por **Giovana Martins** Qua 21 Ago - 23:22

wadekly escreveu:
SENSACIONAL, Grande Mestra... É MUITÍSSIMO interessante perceber que a raíz complexa (cuja verificação você demonstrou) proposta pela questão com possível solução teve o argumento mudado de 30° para 150° ao ser elevada a quinta potência... Isso poderia servir como algum indício para prever a resposta correta em uma questão objetiva em que não se dispõe de muito tempo para resolvê-la, por exemplo...?! Ou isso seria excesso de imaginação de minha parte...?!

Obrigada.

Daria sim. Isso decorre da lei de De Moivre.

Formulação: zⁿ = |z|ⁿcis(nθ).

Note que por De Moivre, o argumento do complexo z fica multiplicado pela potência a qual o complexo z está elevado.

por **Elcioschin** Qui 22 Ago - 0:30

Um modo bem parecido:

Fazendo z = cosθ + i.senθ ---> z = cis(θ) ---> z⁵ = cis(5.θ)

2.z⁵ + √3 = i ---> 2.cis(5.θ) = - √3 + i --->

2.cis(5.θ) = 2.(-√3/2 + i/2) ---> cis(5.θ) = cos150º + i.sen150º --->

cis(5.θ) = cis(150º) ---> 5.θ = 150º ---> θ = 30º

z = cos30º + i.sen30º ---> z = √3/2 + i/2

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