Equação complexa
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Equação complexa
Provar que uma das raízes da equação,
, é ![Equação complexa Gif](https://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1i}{2})
- Spoiler:
wadekly- Jedi
- Mensagens : 207
Data de inscrição : 30/03/2024
Giovana Martins gosta desta mensagem
Re: Equação complexa
Utilizei a mesma ideia desta questão: N. Complexos.
Para z = 0.5√3 + 0.5i tem-se θ = ∏/6.
Por De Moivre: z5 = 15cis(5∏/6) = - 0.5√3 + 0.5i.
Da equação 2z5 + √3 = i:
2(- 0.5√3 + 0.5i) + √3 = i → - √3 + i + √3 = i ∴ i = i
Note que a igualdade se verifica, logo, z5 = - 0.5√3 + 0.5i é raiz da igualdade.
Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 8137
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Localização : São Paulo
Re: Equação complexa
SENSACIONAL, Grande Mestra... É MUITÍSSIMO interessante perceber que a raíz complexa (cuja verificação você demonstrou) proposta pela questão com possível solução teve o argumento mudado de 30° para 150° ao ser elevada a quinta potência... Isso poderia servir como algum indício para prever a resposta correta em uma questão objetiva em que não se dispõe de muito tempo para resolvê-la, por exemplo...?! Ou isso seria excesso de imaginação de minha parte...?!
wadekly- Jedi
- Mensagens : 207
Data de inscrição : 30/03/2024
Giovana Martins gosta desta mensagem
Re: Equação complexa
wadekly escreveu:SENSACIONAL, Grande Mestra... É MUITÍSSIMO interessante perceber que a raíz complexa (cuja verificação você demonstrou) proposta pela questão com possível solução teve o argumento mudado de 30° para 150° ao ser elevada a quinta potência... Isso poderia servir como algum indício para prever a resposta correta em uma questão objetiva em que não se dispõe de muito tempo para resolvê-la, por exemplo...?! Ou isso seria excesso de imaginação de minha parte...?!
Obrigada.
Daria sim. Isso decorre da lei de De Moivre.
Formulação: zn = |z|ncis(nθ).
Note que por De Moivre, o argumento do complexo z fica multiplicado pela potência a qual o complexo z está elevado.
Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 8137
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 23
Localização : São Paulo
Re: Equação complexa
Um modo bem parecido:
Fazendo z = cosθ + i.senθ ---> z = cis(θ) ---> z5 = cis(5.θ)
2.z5 + √3 = i ---> 2.cis(5.θ) = - √3 + i --->
2.cis(5.θ) = 2.(-√3/2 + i/2) ---> cis(5.θ) = cos150º + i.sen150º --->
cis(5.θ) = cis(150º) ---> 5.θ = 150º ---> θ = 30º
z = cos30º + i.sen30º ---> z = √3/2 + i/2
Fazendo z = cosθ + i.senθ ---> z = cis(θ) ---> z5 = cis(5.θ)
2.z5 + √3 = i ---> 2.cis(5.θ) = - √3 + i --->
2.cis(5.θ) = 2.(-√3/2 + i/2) ---> cis(5.θ) = cos150º + i.sen150º --->
cis(5.θ) = cis(150º) ---> 5.θ = 150º ---> θ = 30º
z = cos30º + i.sen30º ---> z = √3/2 + i/2
Elcioschin- Grande Mestre
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Data de inscrição : 15/09/2009
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![-](https://2img.net/i/empty.gif)
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