Verifique que se a equação dada é exata

por Márcio Valente Ter 05 Jun 2012, 13:27

3)verifique que se a equação dada é exata e em caso afirmativo determine a respectiva solução:

(2x + y)dx + (x + 6y) dy = 0

por danjr5 Dom 05 Ago 2012, 18:02

Uma equação diferencial é exata quando $M$ e $N$ são funções de classe $C^1$ e $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$

Como $M(x,y) = 2x + y$ e $N(x,y) = x + 6y$ são funções de classe $C^1$ em $\mathbb{R}^2$

e

$M(x,y) = 2x + y \rightarrow \frac{\partial M}{\partial y} = 1 \\\\\\ N(x,y) = x + 6y \rightarrow \frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Temos que a equação é exata!!

A solução é dada na forma implícita por $F(x,y(x)) = C$ onde:
C é uma constante;
F uma função escalar.

$\frac{\partial F}{\partial x} = 2x + y \Rightarrow F(x,y) = x^2 + xy + g(y) \\\\\\ \frac{\partial F}{\partial y} = x + 6y \Rightarrow F(x,y) = xy + 3y^2 + h(x)$

Comparando as duas expressões podemos concluir que:

$\boxed{\boxed{F(x,y) = x^2 + xy + 3y^2}}$

Espero ter ajudado!

Daniel F.

por **Iago6** Dom 05 Ago 2012, 20:58

Ou então:

$(2x + y)dx + (x + 6y) dy = 0 \\\\ F(x,y) ={\color{Red} x^2 + xy + K }\;\;\; ; \;\; G(x,y)= {\color{Red} xy + 3y^2 + C}\\\\ \frac{\partial F}{\partial x} = 2x +y \rightarrow \frac{\partial }{\partial x}\left (x^2 + yx + K \right )= 2x+y \\\\ 2x + y + K' =2x+y \\\ K' = 0 = K \\\\ \frac{\partial G}{\partial y} = 2x +y \rightarrow \frac{\partial }{\partial y}\left (xy + 3y^2 + C \right )= x+6y \\\\ x + 6y + C'= x+6y \\\ C' = 0 =C \\\\ \textup{ Logo U}(x,y)=C \;\; \Leftrightarrow \;\; \boxed {x^2+xy + 3y^2 =C}$