Área do triângulo

No retângulo ABCD, os pontos F e G pertencem ao lado AB e são tais que AF=FG=GB. O ponto médio do lado CD é o ponto E. A diagonal AC intercepta os segmentos EF e EG, respectivamente, nós pontos H e J. A área do retângulo ABCD mede 70cm². A área do triângulo EHJ, então, é igual a


a) 5/2 cm²
b) 35/12 cm²
c) 3 cm²
d,) 7/2 cm²
e) 35/8 cm²


Gab: c)

Alguém saberia me dizer por que o triângulo EQS, não é igual ao triângulo EHJ
a área do triângulo EQS É 1/4 DA ÁREA DO TRIÂNGULO EFG  que por sua vez é 1/6 da ÁREA DO RETÂNGULO
OU SEJA 35/12.
Eu realmente não sei o que tá errado no raciocínio ou nos meus cálculos

Achei essa solução em um fórum gringo, mas não tenho certeza se está totalmente certo assumir valores para a base e altura do triângulo

Suponha A = (0,7), B = (10,7), C = (10,7) & D = (0,0) de modo que a área do Retângulo ABCD = 70 Então F = (10 / 3,7) ) & G = (20 / 3,7). Agora determine as equações das linhas EF e EG. Sabemos que AC é: x / 10 + y / 7 = 1 Portanto, determine as coordenadas de H & J que em meu cálculo são, H: (4,21 / 5) & G: ((40/7, 3). Sabemos que E é (5,0). Agora use a fórmula do cadarço para descobrir a área de Triângulo EHJ = (1/2) [5 (3–21 / 5) + (40/7 ) (21 / 5–0) +4 (0–3)] = 3

Note que os triângulos AFH e CEH são semelhantes, como eles têm o mesmo ângulo. Consequentemente:

Da mesma forma, os triângulos AGJ e CEJ são semelhantes, consequentemente:

ENTRE [] as áreas
Agora nós podemos calcular a [EHJ]=[ACD]-[AHD]-[DEH]-[EJC]
[ACD]=[ABCD]/2=35
[AHD]=2/5[ACD]
(Como esses dois triângulos tem a mesma base AD e AH é 2/5 de AC, dessa forma também a altura de H em AD é 2/5 da altura de C, consequentemente
[AHD]=14

[HED]=3/10[ACD]
como a base ED é 1/2 da base CD e a altura de H é 3/5 da altura de A
[HED]=21/2

[JEC]=3/14[ACD] =15/2 (pelas mesmas razões)

Dessa forma
[EHJ]=35-14-(21/2)-(15/2)=3

(uma forma mais elegante)
crédito ao site artofproblemsolving

Uma solução usando GA

aF = FG = GC = a ---> AD = BC = h

Seja um sistema xOy com A(0, 0), F(a, 0), G(2.a, 0), B(3.a, 0), E(3a/2, h), C(3.a, h), D(0, h)

Determine as equações das retas AC, EF, EG
Encontre os pontos de encontro H(xH, yH), J(xJ, yJ)

Encontre a área de EHJ pelos três vértices (determinante)

Alguém saberia me dizer por que o triângulo EQS, não é igual ao triângulo EHJ

embora os dois triângulos tenham a mesma altura, eles tem as bases com tamanhos diferentes: QH ≠ SJ. Além disso, nem ao menos são semelhantes.

orunss escreveu:
Note que os triângulos AFH e CEH são semelhantes, como eles têm o mesmo ângulo. Consequentemente:

Da mesma forma, os triângulos AGJ e CEJ são semelhantes, consequentemente:

ENTRE [] as áreas
Agora nós podemos calcular a [EHJ]=[ACD]-[AHD]-[DEH]-[EJC]
[ACD]=[ABCD]/2=35
[AHD]=2/5[ACD]
(Como esses dois triângulos tem a mesma base AD e AH é 2/5 de AC, dessa forma também a altura de H em AD é 2/5 da altura de C, consequentemente
[AHD]=14

[HED]=3/10[ACD]
como a base ED é 1/2 da base CD e a altura de H é 3/5 da altura de A
[HED]=21/2

[JEC]=3/14[ACD] =15/2 (pelas mesmas razões)

Dessa forma
[EHJ]=35-14-(21/2)-(15/2)=3

(uma forma mais elegante)
crédito ao site artofproblemsolving

Muito obrigado pela resolução, consegui entender

Elcioschin escreveu:Uma solução usando GA

aF = FG = GC = a ---> AD = BC = h

Seja um sistema xOy com A(0, 0), F(a, 0), G(2.a, 0), B(3.a, 0), E(3a/2, h), C(3.a, h), D(0, h)

Determine as equações das retas AC, EF, EG
Encontre os pontos de encontro H(xH, yH), J(xJ, yJ)

Encontre a área de EHJ pelos três vértices (determinante)

Muito obrigado, mestre