(F.C.M. STA. CASA - 1981) Área do Triângulo com a Área do círculo

(F.C.M. STA. CASA - 1981) Na figura 16, temos um triângulo retângulo cujos lados medem 5 cm, 12 cm e 13 cm e a circunferência nele inscrita.
http://dc250.4shared.com/doc/lY_V1Hrx/preview.html questão 12 a imagem
A área da região sombreada é, em cm²:
(a) 30(1 − π)
(b) 5(6 − 1, 25π)
(c) 3(10 − 3π)
(d) 2(15 − 8π)
(e) 2(15 − 2π)

gostaria da resolução e da resposta não entendi muito bem

seja r o raio da circunferência.
do vértice ao ponto de tangência com a circunferência, temos:
- no cateto vertical: 5-r
- no cateto horizontal: 12-r

então a hipotenusa será: 13 = (5-r)+(12-r) -----> 13 = 17-2r -----> r=2

Acirc. = pi*r² -----> Ac = 4pi
Atrg. = 5*12/2 ---> At = 30

Asomb. = At - Ac -----> As = 30 - 4pi -----> As = 2(15-2pi) ........alternativa (e)

Achei letra E , ou seja , mal sinal...



Vemos que há dois triângulos congruentes na direita, dois triângulos congruentes em cima e um quadrado em baixo.

Quanto aos triângulos congruentes da direita:

Vamos chamar um dos lados deles de x.
Sendo que tem um quadrado de lado r bem do lado.
Então, x + r = 12

Quanto aos triângulos congruentes de cima:

O Lado 13 do triângulo total possui o lado x. Vimos que: x + r = 12. Para chegar em 13 falta 1. Logo, o lado desse triângulo pequeno será r + 1 ( pois x + r + 1 = 13). Porém, temos o triângulo semelhante à ele no lado 5. Este triângulo também possuirá o lado r + 1.

Como temos o quadrado de lado r em baixo. Podemos afirmar que r + r + 1 = 5
2r + 1 = 5
r = 2
...
x + r = 12
x = 10

A área hachurada será a diferença entre as áreas do triângulo e do circulo.

5*12/2 - ∏2² ---> 30 - 4∏ --> 2 (15 - 2∏)

Medeiros escreveu:


seja r o raio da circunferência.
do vértice ao ponto de tangência com a circunferência, temos:
- no cateto vertical: 5-r
- no cateto horizontal: 12-r

então a hipotenusa será: 13 = (5-r)+(12-r) -----> 13 = 17-2r -----> r=2

Acirc. = pi*r² -----> Ac = 4pi
Atrg. = 5*12/2 ---> At = 30

Asomb. = At - Ac -----> As = 30 - 4pi -----> As = 2(15-2pi) ........alternativa (e)

teria que elevar ao quadrado né ???
13² = (5-r)²+(12-r)²
ai eu não consegui chegar em 2, só entendi o do pcpcoast.

eiji escreveu:teria que elevar ao quadrado né ???
13² = (5-r)²+(12-r)²
ai eu não consegui chegar em 2, só entendi o do pcpcoast.

Não "teria", não.

princípio: se por um ponto externo a uma circunferência traçarmos tangentes a ela, a medida do ponto externo até o ponto de tangência será igual para ambas.

Isso foi aplicado ao vértice de cada cateto e obtivemos respectivamente, nos catetos, (5-r) e (12-r). Tais medidas porém, pelo princípio citado, também estão na hipotenusa, do respectivo vértice até o ponto de tangência. Logo, a hipotenusa vale a soma desses pedaços.
13 = (5-r) + (12-r).

OBS.:
se você quizer "elevar ao quadrado", ou seja, aplicar Pitágoras, deveria fazer:
(5-r+12-r)² = 5² + 12²
aí você chegaria em
r=15 ....... que não serve porque é maior que a própria hipotenusa; ou
r=2.

Entendeu, agora?

valeu Medeiros !
duas maneiras fácil de fazer que eu não estava conseguindo fazer nenhuma.
muito obrigado....

Uma fórmula para calcular o raio da circunferência inscrita em QUALQUER triângulo retângulo de lados a, b, c ( a = hipotenusa)

...... b + c - a
r = ----------------
.............. 2

LoL, isso aí já é voodoo.

Valeu tio Elcio. Tenho certeza que vou utilizar isso muitas vezes.

PS.: É óbvio que isso só ocorre quando os lados do triângulo tangenciam a circunferência. Ou seja, centro da esfera = baricentro do triângulo

boa observação !

pcpcoast escreveu:LoL, isso aí já é voodoo.
[...]

Não é voodoo não, Pcpcoast. É a generalização do "princípio" usado acima. Mas foi uma ótima lembrança do Élcio; se já tivermos essa fórmula na algibeira na hora do concurso, como é o caso desta questão, ganhamos bem um minutinho.

como chegar na fórmula:
a = (b-r) + (c-r) -----> a = b + c - 2r -----> r = (b+c-a)/2.

também tem esta:
r+a = (a+b+c)/2
e observando que o segundo membro é o semiperímetro (s), podemos reescrever:
r+a = s


lembrando que isto vale somente para triângulos retângulos.