Combinatória

(Pucsp 98)
Dada a equação x₁+x₂‚+...+xn = k, na qual k ∈ N, chama-se solução inteira dessa equação a toda n-pla de números inteiros (α₁, α₂,..., αn ), tal que α₁ + α₂ + αn =k. Assim, por exemplo, as ternas (6, 10, 3) e (-2, 9, 12) são soluções inteiras da equação x+y+z=19.
Sabe-se que o número de soluções inteiras e positivas da equação x₁+x₂‚+...+xn=k é dado pela combinação (C) de k-1 elementos, n-1 a n-1. Nessas condições, se a equação x+y+z=k tem 36 soluções inteiras e positivas, então uma solução dessa equação é: 

a) (2, 1, 3)
b) (4, 2, 3)
c) (3, 6, 1)
d) (5, 3, 4)
e) (8, 7, 5)

GABARITO: C)(3, 6, 1)

Ele disse que o número de soluções é igual a Uma combinação de K-1 em n-1, note que n é igual a 3, logo escrevendo a fórmula de combinação você vai encontrar um equação fatorial onde k é a incognita a ser descoberta e é igual a x+y+z. Em suma, é só resolver a equação ver qual alternativa apresenta três números que ao serem somados resultam em K. 





Resolução:

[(K-1)!]/[(n-1)!*(k-1-n+1)!]=36

Lembrando-se qe n é igual a 3 eu fatorei a expressão usando as propriedades do fatorial até chegar na equação do segundo grau abaixo:

(K²-3k+2)/2=36

K²-3k+2=72
K²-3k-70=0

Ao resolver essa equação do segundo grau eu encontre os valores -7 e 10, porém, como questão fala que k é um número natural apenas o 10 é um resultado aceitável. Portanto, K igual a 10 e por isso  X+Y+Z também é igual a 10. 
A única alternativa cuja soma dos números da solução é 10 é a letra C.

lucasgabrielalmeidadasilv escreveu:Ele disse que o número de soluções é igual a Uma combinação de K-1 em n-1, note que n é igual a 3, logo escrevendo a fórmula de combinação você vai encontrar um equação fatorial onde k é a incognita a ser descoberta e é igual a x+y+z. Em suma, é só resolver a equação ver qual alternativa apresenta três números que ao serem somados resultam em K. 





Resolução:

[(K-1)!]/[(n-1)!*(k-1-n+1)!]=36

Lembrando-se qe n é igual a 3 eu fatorei a expressão usando as propriedades do fatorial até chegar na equação do segundo grau abaixo:

(K²-3k+2)/2=36

K²-3k+2=72
K²-3k-70=0

Ao resolver essa equação do segundo grau eu encontre os valores -7 e 10, porém, como questão fala que k é um número natural apenas o 10 é um resultado aceitável. Portanto, K igual a 10 e por isso  X+Y+Z também é igual a 10. 
A única alternativa cuja soma dos números da solução é 10 é a letra C.

Muito obrigado, Lucas!
Havia pensado na resolução que segue, porém não sei se o raciocinio está correto. Se puder avaliar seria de grande ajuda!


Sabe-se que o número de soluções inteiras e positivas da equação x₁+x₂‚+...+xn=k é dado pela combinação (C) de k-1 elementos, n-1 a n-1.  
onde: 3 + 6 + 1 = 10 ---> k = 10 

C(10-1) elementos tomados a (3-1) 
C9,2 = 36