ITA - SP : Equações algébricas - polinômios e raízes

Seja S o conjunto de todas as raízes da equação 2x^6 - 4x^5 + 4x - 2 = 0.
Sobre os elementos de S, podemos afirmar que:

a) todos são números reais

b) 4 são números reais positivos

c) 4 não são números reais

d) 3 são números reais positivos e 2 não são reais

e) 3 são números reais negativos


R: d)

pessoal, se eu não errei besteira, eu cheguei, aplicando briot-ruffini, em P(x) = (x - 1)(x^5 - x^4 - x³ - x² - x + 1)

estou com problemas em fatorar o x^5 - x^4 - x³ - x² + 1

eu teria que achar a raiz dessa equação acima e aplicar, novamente, briot-ruffini e ir fatorando ? seria isso ?

mas não sei se estou resolvendo corretamente.

x = -1  também é raiz

2.(x -1).(x + 1).(x⁴ - 2x³ + x² - 2x + 1) = 0

q(x) = x⁴ - 2x³ + x² - 2x + 1

q(0) = 1
q(1) = -1  ----->  existe uma raiz real entre 0 e 1
q(2) = 1  ----->  existe uma raiz real ente 1 e 2

então temos 4 raízes reais, três delas maiores que zero, e uma complexa conjugada.

De posse dessas informações, podemos afirmar que há três soluções positivas dentre as quatro raízes reais, e que há duas soluções complexas.

Nossa, pessoal, que questão difícil!
Muito além do que o meu material aborda. Resolvi bastante coisa do ITA com conceitos básicos desse assunto, mas essa aí foi bem além.
Agradeço aos dois pelas ajudas.