Raízes de equações algébricas

Considere as equações algébricas abaixo: 

I. 2x² + 6x + 7 = 0 
II. x³ − 8x² + 19x − 12 = 0 
III. 4x³ − 13x² − 13x + 4 = 0 

E as afirmações: 

(1) Sendo r e s as raízes de I, então 1/r + 1/s e r² + s² , valem respectivamente −6/7 e 2; 
(2) Sabendo que na equação II uma das raízes é igual a soma das outras duas, podemos afirmar que ela possui somente raízes reais; 
(3) Sabendo que duas raízes de III são números inversos, podemos garantir que II e III possuem somente uma raiz comum;
(4) As raízes da equação II podem representar os lados de um triângulo. 

Estão CORRETAS: 

A) 1, 2 e 3, apenas; 
B) 1, 3 e 4, apenas; 
C) Nenhuma; 
D) 2, 3 e 4, apenas; 
E) Todas.

GAB: A.

Alguém poderia justificar essas assertivas?!

Basta usar Girard:

I) 2.x² + 6.x + 7 = 0 ---> Raízes r, s

r + s = - 6/2 ---> r + s = -3 ---> i
r.s = 7/2 ---> ii

1/r + 1/s = (r + s)/r.s = -3/(7/2) = -6/7

(r + s)² = r² + s² + 2.r.s ---> (-3)² = r² + s² + 2.(7/2) ---> r² + s² = 2

II) Raízes: r + s + t 

r + s = t ---> t + t = - (-/1 ---> t = 4   ---> r + s = 4 ---> i

r.s.t = 12 ---> r.s.4 = 12 ---> r.s = 3 ---> ii

i e ii ---> r = 1, s = 3

Complete

(3) As raízes da equação II já foram encontradas: 1, 3 e 4.

Em III, como duas raízes r e s são inversas , então r.s = 1. O produto das raízes em 3 é dado por: r.s.t = -1 ----> t = -1.
Usando o algoritmo de Briot-Ruffini:
       4    -13    -13     4
-1|  4     -17     4     |0

Da equação 4x^2 - 17x + 4 = 0, temos: x1 = 4  e x2 = 1/4.
Logo, 4, 1/4 e -1 são as raízes da equação III e 4 é comum às duas equações(II e III). (Verdadeira)

(4) Em um triângulo de lados a, b e c, deve-se sempre observar que: |b-a| < c < a + b. Como em II uma raiz é dada pela soma das outras duas, logo não podem representar lados de um triângulo.

GAB: A

Muito obrigado, Elcioschin, pela ajuda.