Polinômios e Equações Algébricas

por JSB Sáb 28 maio 2016, 18:11

Boa noite, preciso que alguém me ajude com esse exercício da UEPG PR/2012

Sabe-se que a divisão de um polinômio P(x) por (x + 2) dá resto –4 e por (x – 6) dá resto nulo.
Se R(x) é o resto da divisão de P(x) por (x + 2)(x – 6), assinale o que for correto.
01) P(–2) = –4.
02) R(–1) = 0.
04) P(6) = 1.
08) R(0) = 0.
16) R(2) = –2.

*OBS: as corretas são 01+16

por **Elcioschin** Sáb 28 maio 2016, 18:41

P(-2) = - 4 ---> P(6) = 0

P(x) = (x + 2).(x - 6).q(x) + a.x + b

Para x = - 2 ---> P(-2) = - 2a + b ---> - 4 --> 2a - b = 4 ---> I
Para x = 6 ----> P(6) = 6a + b ---> 0 ----> 6a + b = 0 ---> II

Resolvendo o sistema a = 1/2 e b = - 3

R(x) = (1/2).x - 3 ---> Para x = 2 ---> R(2) = (1/2).2 - 3 ---> R(2) = - 2

por **Christian M. Martins** Sáb 28 maio 2016, 19:05

P(x) = (x + 2).(x - 6) + a.x + b

De onde saiu ax + b, Élcio?

por **Elcioschin** Sáb 28 maio 2016, 19:14

Isto faz parte da teoria de Polinômios com grau maior ou igual a 2:

Divisão de um polinômio por (x - a).(x - b)

Os restos serão sempre do tipo a.x + b

Dê uma lida

por **Christian M. Martins** Sáb 28 maio 2016, 19:15

De fato. Muito obrigado.

por **Elcioschin** Dom 29 maio 2016, 19:05

Esclarecendo para os demais usuários

A divisão de um polinômio de grau maior ou igual a 2, por (x - a).(x - b) resulta num resto R(x) com grau NO MÁXIMO igual a 1, isto é ---> R(x) = a.x + b

Assim, existem 3 possibilidades:

1) a ≠ 0 ---> R(x) é do 1º grau
2) a = 0, b ≠ 0 ---> R(x) = b ---> R(x) é do grau zero
3) a = b = 0 ---> R(x) = 0 ---> Divisão exata