Diofantina

Determine todos os inteiros positivos menores do que 1000 que tem restos 9 e 15 quando divididos respectivamente por , 37 e 52:

Eu achei um gabarito desse negócio mas parece errado: Questão 5 https://www.ime.usp.br/~iusenko/ensino_2018_1/MAT0120/listas/Lista3_Gab.pdf

Ele diz que 52*p  -  37*q = 6, quando dá - 6 (52p + 15 = 37q + 9 -->52p - 37q = 9 - 15 = - 6).

 Eu vou colocar do jeito que tentei fazer (Não achei N mas vai que você acha.)
N < 1000 --> N = 37*q1 +9 e N = 52*q2 + 15 --> 52*q2 - 37q1 =  -6

 Note que 52 = 37 * 1 + 15 -->  37 = 15 * 2 + 7 --> 15 = 7 * 2 + 1 --> 
15 - 14 = 1 --> 15 - (2*37 - 4 * 15) --> 5*15 - 2*37 = 1 --> 5(52 - 37) - 2 *37 = 1 --> 5*52 - 7*37 = 1 (*-6) --> 37*42 -52*30 = -6.

Daí, já dá problema... pois quando você comparar essa expressão com q1  e q2 dá errado.

Tenta algo e posta aqui depois.

N = 37.q + 9 ---> I
N = 52.p + 15 --> II

I = II ---> 37.q + 9 = 52.p + 15 ---> 37.q = 52.p + 6  ---> q = (52.p + 6)/37 --->

q = p + (15.p + 6)/37 ---> Seja o inteiro r = (15.p + 6)/37:

r = (15.p + 6)/37 ---> p = (37.r - 6)/15 ---> p = 2.r + (7.r - 6)/15 ---> seja s inteiro: 

s = (7.r - 6)/15 ---> r = (15.s + 6)/7 ---> r = 2.s + (s + 6)/7 ---> seja t inteiro:

t = (s + 6)/7 ---> s = 7.t - 6

Volte atrás e calcule r, p, q em função de t e tente completar.

Leia: https://pir2.forumeiros.com/t9536-equacoes-diofantinas-elcioschin

Legal pessoal, vocês são rápidos no gatilho kkkk

Faz um tempo que estudei sobre essas equações, encontrei como resposta apenas um número o 379, o próximo inteiro positivo seria 2303. 

Estou certo ?

Opa,Emanoel.

Você fez como ? Eu tentei fazer usando algoritmo de Euclides mas não deu certo (http://www.profmat.uem.br/dissertacoes-2/Alexandre_Vansan.pdf , página 34 em diante.)

Kayo Emanuel Salvino escreveu:Opa,Emanoel.

Você fez como ? Eu tentei fazer usando algoritmo de Euclides mas não deu certo (http://www.profmat.uem.br/dissertacoes-2/Alexandre_Vansan.pdf , página 34 em diante.)

Seja q o quociente da divisão e n o dividendo, partindo do algoritmo básico da divisão:



37q + 9 = n   (i)



52q' + 15 = n (ii)



(ii) - (i):



52q' - 37q + 6 = 0

A partir daqui, eu observei que " 37q " tem que ser maior que " 52q' ", pois o resultado tem que ser -6, com certeza, "q" tem que ser maior que q', e fui testando pra uma diferença de 1 unidade (q-q"=1), ví que não daria, de 2 unidades(q-q'=2) também não e continue testando até chegar a primeira solução plausível:



q' =  7 -->  364

q =  10 --> 370

Substituindo em (i) ou (ii):

n = 379

As próximas soluções fica mais fácil, eu usei o artifício de somar o módulo do coeficente de maneira cruzada aos primeiros resultados, então fica:

Próxima solução:

q' = 37 + 7 = 44
q = 52 + 10 = 62

Substituindo em (i) ou (ii):

n = 2303