Probabilidade

Cada uma das cem pessoas de uma fi la escolhe, ao acaso, um número de 1 a 20 e o escreve em um papel, mantendo esse número em segredo. Depois que todos escreveram, o primeiro da fi la anuncia o seu número. Em seguida, o segundo da fi la faz o mesmo, e assim sucessivamente. A primeira pessoa que anunciar um número igual a um número já anunciado ganha um prêmio.

a) O primeiro da fi la não tem chance de ganhar o prêmio. Qual é a posição da próxima pessoa da fi la que também não tem chance alguma de ganhar o prêmio?
b)Qual é a probabilidade de que o terceiro da fi la ganhe o prêmio?
c)Quem tem maior probabilidade de ganhar o prêmio: o sétimo da fi la ou o oitavo? Justifi que

os itens a eu achei bem fácil, o item b também, só coloquei pelo contexto, mas o c eu não consegui, podem ajudar por favor?? desde já obrigado.

* Outra dúvida, essa para quem já foi medalhista da obmep, quantos acertos obtiveram na prova( nivel 3) de segunda fase para ganhar a medalha?

Podemos perceber que a primeira pessoa fala um número. Para que a segunde ganhe, é necessário que ela fale o número da primeira pessoa.
Deste modo, a segunda pessoa tem 1/20 de chance de ganhar.

Já a terceira, se a segunda acertou, ela não tem nenhuma chance. Mas se a segunda não acertou, ele tem chance de 2/20 de acertar.
Para a terceira acertar, é necessário que a segunda erre(19/20) e depois a terceira acerte(2/20).
Deste modo, a chance dele de acertar é (19/20)*(2/20)=19/200=0,095=9,5%
Essa é a chance da terceira pessoa ganhar.

Agora, a quarta pessoa, é necessário que a segunda erre(19/20), a terceira erre(18/20) e a quarta acerte(3/20).
Logo, a chance da quarta pessoa é dada por (19/20)(18/20)(3/20)=12,825%

Podemos descrever a chance de uma determinada pessoa na posição n:


Podemos perceber também, que se n=1, teremos que vale, pois a primeira pessoa não tem chance alguma.
Podemos também perceber que há um limite. Se n=21, teremos que todos os 20 números já terão sido falados, e deste modo, a pessoa 21 se falar qualquer número acertará.
E que se n=22, a parte do denominador no fatorial acaba ficando negativo, o que não pode. E portanto, a pessoa 22 não tem chance alguma de ganhar, o que é verdade, pois os 20 números já terão sido falados e a pessoa 21 teria ganhado o premio.
Logo, todas acima de 21 não tem chance alguma de ganhar.

Agora, respondendo se a setima ou oitava pessoa, qual tem mais chance, é só aplicar:

A pessoa 7 tem mais chance de ganhar que a pessoa 8.

Podemos montar um gráfico também:


Podemos verificar também que as pessoas 5 e 6 possuem as mais altas e iguais chances de ganhar.


Quanto à OBMEP, das questões:
OBMEP
Perguntas como esta devem ser feitas em bate-papo dos membros.

valeu, eu não sabia do bate-papo, obrigado