Determine o N natural

por Armando Vieira Sex 23 Jan 2015, 21:29

Determine n natural para que 2ⁿ + 1 seja divisível por 3.

Resposta: n deve ser ímpar.

por **Carlos Adir** Sex 23 Jan 2015, 22:30

$\\ 2^{0} \equiv 1 \pmod 3 \\ 2^1 \equiv 2 \pmod 3 \\ 2^2 \equiv 1 \pmod 3 \\ 2^3 \equiv 2 \pmod 3 \\ \cdots \\ 2^{2n} \equiv 1 \pmod 3 \\ 2^{2n+1} \equiv 2 \pmod 3$
Com isso, se somarmos 1 então:
$\\ 2^{2n} +1\equiv 1+1 \equiv 2 \pmod 3 \\ 2^{2n+1}+1 \equiv 2+1 \equiv 0 \pmod 3$
Como o primeiro caso deixa resto 2, e o segundo deixa resto 0, então o valor de n deve ser escrito como (2k+1), ou seja, n deve ser impar.