Conjuntos IX

Provar que : .


Provar também que, sendo a e b positivos:

2ab/(a+b) < √(ab) < (a+b)/2 ,que representa a famosa desigualdade das médias (para dois termos) : M.H < M.G < M.A . Como tudo é positivo podemos elevar ao quadrado:
2ab/(a+b) < √(ab)
4(ab)²/(a+b)² < ab
(a+b)² > 4ab
a² + 2ab + b² -4ab > 0
(a-b)² > 0 que é verdade sempre.

analogamente:
√(ab) < (a+b)/2
ab < (a+b)²/4
(a² + 2ab + b² - 4ab )> 0
(a-b)² > 0

como 0 < a < b
Seja b = a + k , k ∈ ℕ*
a < 2ab/(a+b)
a < 2a(a+k)/(2a+k)
2a + k < 2a + 2k
k > 0

analogamente:
(a+b)/2 < b
(2a+k)/2 < a+ k
2a + k < 2a +2k
k > 0
Logo, a < 2ab/(a+b) < √(ab) < (a+b)/2 < b , c.q.d

Do desenvolvimento anterior, na igualdade teremos:
(a-b)² = 0 o que ocorre quando a = b.

Luck, essas igualdades: { a < 2ab/(a+b) } e { (a+b)/2 < b } como voce tinha a certeza que essas expressões eram maior que "a" e menor que "b" ? Ou voce não tinha, testou e o fato de ter obtido o mesmo resultado { K > 0 }, confirmou essas desiguldades iniciais? Qual foi o motivo?

Valeu!!

luiz.bfg escreveu:Luck, essas igualdades: { a < 2ab/(a+b) } e { (a+b)/2 < b } como voce tinha a certeza que essas expressões eram maior que "a" e menor que "b" ? Ou voce não tinha, testou e o fato de ter obtido o mesmo resultado { K > 0 }, confirmou essas desiguldades iniciais? Qual foi o motivo?

Valeu!!

eu não tinha, parti da hipótese de que a igualdade era verdadeira e no final conclui que realmente é... mas vc poderia ter feito ao contrário, por exemplo : supor por absurdo que 2ab/(a+b) >  √(ab) e da mesma forma chegaria em (a-b)² < 0 que é absurdo.

ah, saquei. Valeu!!