Integrais

por **Jader** Seg 26 maio 2014, 10:09

Estou em dúvida em uma questão onde consiste em inverter a ordem de integração da seguinte integral:

$\int_{\frac{a}{2}}^{a}\int_{0}^{\sqrt{2ax-x^{2}}}f(x,y)dydx$

A resposta se da em duas integrais dupla cuja resposta segue abaixo:

$\int_{0}^{\frac{a\sqrt{3}}{2}}\int_{\frac{a}{2}}^{a}f(x,y)dxdy+\int_{\frac{a\sqrt{3}}{2}}^{a}\int_{a-\sqrt{a^{2}-y^{2}}}^{a}f(x,y)dxdy$

Porém minha dúvida é como chegar no limite inferior da integral de dentro no segundo membro.

Desde já agradeço a ajuda e a atenção.

por Man Utd Seg 26 maio 2014, 21:48

Olá

A primeira integral corresponde a região em vermelho, bem podemos ver que os limites de integração em "y" serão 0 até $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ , já os limites de integração em "x" vai ser de x=a/2 até x=a , então a primeira integral é :

$\\\\\\ \int_{0}^{\frac{a\sqrt{3}}{2}} \; \int_{\frac{a}{2}}^{a} \; f(x,y) \; dxdy$

agora vem a área em amarelo, os limites em "y" serão de $\\\\\\ \frac{a\sqrt{3}}{2}$ até $\\\\\\ a$ , já os limites de integração em "x" é função $\\\\\\ x=a-\sqrt{a^2-y^2}$ até $\\\\\\ x=a$ .

$\int_{ \frac{a\sqrt{3}}{2}}^{a} \; \int_{a-\sqrt{a^2-y^2}}^{a} \; f(x,y) \; dxdy$

somando esta duas integrais resulta no gabarito.

por **Jader** Ter 27 maio 2014, 16:11

Vlw Man, consegui resolver o problema com meus colegas mais foi válido seus esclarecimentos. Agradeço mesmo assim sua atenção.

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