Indução matemática

por Bvianna Sáb 17 maio 2014, 18:02

Olá,

Estou tendo problemas em compreender o processo de desenvolvimento desde problema:

1)Prove que n < 2(elevado a n) para todos os números inteiros positivos n.

Resolução:

passo indutivo:

Hipotese(p(k)): k < 2(elevado a k)

p(k + 1): k + 1 < 2(elevado a k + 1)

adicionando +1 em k < 2(elevado a k)

k + 1 < 2(elevado a k) + 1 <= 2(elevado a k) + 2(elevado a k) = 2¹ * 2(elevado a k) = 2(elevado a k + 1)
Alguém poderia me explicar passo a passo, pois não estou compreendendo o por que tem que somar 1 de cada lado para conseguir provar

Grato.

por **Elcioschin** Sáb 17 maio 2014, 18:47

É pura Álgebra

Tenho que provar para n = 1, para n = k e para n = k + 1

Para passar de k para k + 1 BASTA somar 1 !!!!

Para n = 1 ----> 1 < 2¹ ---> 1 < 2 ---> Provado

Para n = k ----> k < 2^k

Somando 1 em ambos os membros k + 1 < 2^k + 1

Substituindo o 1 do 2º membro por 2^k, a desigualdade continua verdadeira:

k + 1 < 2^k + 2^k

k + 1 < 2. 2^k

k + 1 < 2¹. 2^k

k + 1 < 2^k+1

Provado para k + 1