Indução Matemática.

por MurilloArruda Ter 21 Fev 2012, 15:19

Mostre, por indução, que:

1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n+1) = n(n+1).n(n+2)/3

Primeiro fiz a condição n=1 e então fiz n=k.

1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k(k+1) = k(k+1).(k+2)/3
E aceitei isso como verdade.

Por fim, fiz n = k + 1.

1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + (k+1)(k+2) = (k+1)(k+2)(k+3)/3
Acrescentando-se k em cada lado da equação (por manipulação algébrica), fiz assim:

1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k(k+1)(k+2) = k(k+1)(k+2)(k+3)/3
k(k+1).(k+2)/3.(k+2) = k(k+1)(k+2)(k+3)/3

Sendo que não há igualdade nisso. Onde errei?

por Werill Ter 21 Fev 2012, 15:39

Então foi provado que a relação 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n+1) = n(n+1).n(n+2)/3 não é verdadeira para todo n Very Happy

por MurilloArruda Ter 21 Fev 2012, 15:41

Então é só isso? Sei lá, pelo enunciado do livro, não parece que venha a ter alguma falsa. xD

por Werill Ter 21 Fev 2012, 15:49

Eu tinha feito e também não deu certo, mas agora percebi um coisa...

É assim (como você escreveu):
1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n+1) = n(n+1).n(n+2)/3

Ou isso:
1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3

??

por MurilloArruda Ter 21 Fev 2012, 15:53

Putz velho, copiei errado. É da segunda forma:
1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3

E se fizer acrescentando o sucessor de n(n+1)?

por Werill Ter 21 Fev 2012, 16:09

Se for assim:

$1\cdot 2 + 2\cdot 3 + 3\cdot 4 + ... + n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3} \\\\$

Temos que a relação é verdadeira para n = 1, o proximo passo indutivo é provar algebricamente que para n + 1 também que verdadeira:

$\small \small \inline \\ {\color{Red} 1\cdot 2 + 2\cdot 3 + 3\cdot 4 + ... + n(n+1)} + (n + 1)(n + 2) = {\color{Red} \frac{ n(n+1)(n+2) }{3}} + (n + 1)(n + 2)$

$\small \\ \frac{n(n+1)(n+2)}{3} + (n + 1)(n + 2) = \frac{ (n + 1)[(n+1) +1][(n+1) + 2]}{3} \\\\\\ \frac{n(n+1)(n+2) + 3(n + 1)(n + 2)}{3} = \frac{ (n + 1)(n+2)(n+3)}{3} \\\\\\ \frac{(n + 3)(n+1)(n+2)}{3} = \frac{ (n + 1)(n+2)(n+3)}{3} \\\\$