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Indução Matemática.

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Mensagem por MurilloArruda Ter 21 Fev 2012, 15:19

Mostre, por indução, que:

1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n+1) = n(n+1).n(n+2)/3

Primeiro fiz a condição n=1 e então fiz n=k.

1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k(k+1) = k(k+1).(k+2)/3
E aceitei isso como verdade.

Por fim, fiz n = k + 1.

1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + (k+1)(k+2) = (k+1)(k+2)(k+3)/3
Acrescentando-se k em cada lado da equação (por manipulação algébrica), fiz assim:

1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k(k+1)(k+2) = k(k+1)(k+2)(k+3)/3
k(k+1).(k+2)/3.(k+2) = k(k+1)(k+2)(k+3)/3

Sendo que não há igualdade nisso. Onde errei?

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Mensagem por Werill Ter 21 Fev 2012, 15:39

Então foi provado que a relação 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n+1) = n(n+1).n(n+2)/3 não é verdadeira para todo n Very Happy


Última edição por Werill em Ter 21 Fev 2012, 15:43, editado 1 vez(es)

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Mensagem por MurilloArruda Ter 21 Fev 2012, 15:41

Então é só isso? Sei lá, pelo enunciado do livro, não parece que venha a ter alguma falsa. xD
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Mensagem por Werill Ter 21 Fev 2012, 15:49

Eu tinha feito e também não deu certo, mas agora percebi um coisa...

É assim (como você escreveu):
1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n+1) = n(n+1).n(n+2)/3

Ou isso:
1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3

??

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Mensagem por MurilloArruda Ter 21 Fev 2012, 15:53

Putz velho, copiei errado. É da segunda forma:
1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3

E se fizer acrescentando o sucessor de n(n+1)?
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Mensagem por Werill Ter 21 Fev 2012, 16:09

Se for assim:



Temos que a relação é verdadeira para n = 1, o proximo passo indutivo é provar algebricamente que para n + 1 também que verdadeira:




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Mensagem por MurilloArruda Ter 21 Fev 2012, 16:51

Muito obrigado, cara. Very Happy
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