Análise Combinatória

Relembrando a primeira mensagem :

Quantas maneiras diferentes podem sentar-se 11 homens e 8 mulheres numa fila se duas mulheres nunca sentam juntas?

Uma outra solução para o problema das bolinhas:

De quantas maneiras podemos colocar 2 bolinhas brancas e 3 pretas em fila de modo que uma branca não fique do lado da outra? (O mesmo que eu fiz la em cima e deu 6)

Imagine que _ B _ B _ em que cada espaço é uma caixa, e a caixa do meio nunca está vazia. De quantas maneiras podemos colocas as bolinhas pretas nessa caixa?

Lembra disso?

x + y + z = 3

Queremos o número de soluções inteiras dessa equação. Mas a urna do meio nunca está vazia. Então queremos

x+a+z = 2

Duas bolinhas e duas divisórias

oo||: 4!/2!2! = 4.3/2 = 6 maneiras.

Assim, a solução do problema para 11 bolinhas brancas e 8 pretas em qu nenhuma das pretas ficam juntas é C_{12,8} do jeito que você tinha feito, ordenando primeiramente as bolinhas brancas e delimitando o espaço ou ordenando as pretas e colocando bolinhas nas caixas, lembrando que 7 caixas não poderão estar vazias

Giiovanna escreveu:

Gabriel Rodrigues escreveu:Inicialmente, dispomos os 11 homens na fila. Eles delimitam 11+1 = 12 lugares. Precisamos colocar as mulheres nesses 12 lugares. Note que isso basta para satisfazer a condição de duas mulheres não sentarem juntas. 

As mulheres podem ser arranjadas de C_{12,8} = 495 formas.

Posso estar esquecendo algo, então peço aos colegas que avaliem, por favor.

Acho que o que falta é: Pode haver mais de 1 homem entre as mulheres. Deve haver pelo menos um, não um único, necessariamente. Pode haver até 5 homens entre duas e termos a condiçãp satisfeita

Acho que o caminho da solução do Gabriel tá certo, porém faltou permutar os humens e mulheres.. Seja por exemplo os homens (h1,h2, ... , h11) e as mulheres (m1,m2,... m8)
inicialmente temos 11! modos de orgazinar os homens ex ( h2,h4,h1,h7 ,... ,h5,h11) , agora temos que colocar entre esses espaços as mulheres: C12,8 , e depois de escolhidos os espaço permuta-las 8!.
R .11!.C(12,8 ).8!

Giovanna, fazendo isso tb está contando que pode haver mais de um homem entre as mulheres, por exemplo dos 12 espaços sejam os 8 escolhidos da seguinte forma:
m1 h1 h2 h3 m2 m3 h4 m5 m6 m7 h5 h6 ...
depois permutamos as mulhres pq mesmo mantendo nesses espaços poderiámos ter:
m2 h1 h2 h3 m7 m5 h3 m1 m6 m2 h6 h7 ... mesmo caso para os homens.

outro modo:
inicialmente organizamos as mulheres:
m1  m2  m3  m4  m5  m6  m7 m8  -> 8!
espaços:
e1 m1 e2 m3 e3 m3 e4 m4 e5 m5 e6 m6 e7 m7 e8 m8 e9

devemos distribuir homens entre os espaços ( lembrando que isso nao conta as ordens dos homens nos espaços) :
e1 + e2 + .. + e9 = 11 , de forma que os espaços {e2,e3,...,e8} nao pode ficar vazios, entao fazendo uma troca de variável
e2 = a2 + 1 , e3 = a2 + 1 , ... e8 = a8 + 1 ,o que equivale a calcular o número de soluções inteiras não-negativas da equação:
e1 + a2 + a3 + ... + a8 + e9 = 4 , o que pode ser calculado por CR9,4 = C12,4
escolhido quantos homens vao pra cada espaço , falta permuta-los : 11!
R . 8!11!C(12,4)
veja que C(12,4) e C(12,8 ) são complementares..
creio que seja isso..

Luck, mas

8!11!C(12,4) = 8! 11! (12!/4!8!) = (12! 11!)/4! como eu coloquei acima, certo?

Eu havia colocado logo em seguida uma solução muito parecida com a sua, mas pensei que tivesse dado certo por uma questão de sorte. Mas achei uma muito mais fácil utilizando a ideia do Gabriel de fixar os homens ao invés das mulheres, sem utilizar as soluções das equações.

O que eu tinha colocaso:

Posicionando as mulheres antes dos homens:

1) Há 8! maneiras de organizarmos as mulheres

2) Essas mulheres delimitam 9 espaços dos quais 7 devem ter pelo menos um homem. Então, se os homens fossem indistinguíveis e não tivessemos a condição que eu citei, bastaria acharmos o número de soluções inteiras da equação

x1 + x2 + ... + x9 = 11. Mas x2, ... , x8 não podem ser 0. Assim, teriamos o número de soluções inteiras de

x1 + y2 + ... + y8 + y9 = 4 (I)
Em que yi = xi + 1

Mas não podemos somente somar 1 no xi, pois não estamos falando de elementos indistinguíveis. Então, queremos as soluções de quantos tipos de equações como a I? A_{11,8} = 11!/8!, certo?

Agora, para acharmos o número de soluções inteiras de um desses tipos, teriamos que fazer a permutação de h1, h2, h3, h4 e 8 divisórias . Assim, o número de soluções de um desses tipos de equações seria 12!/8!. Isso por que cada unidade, apesar de valer o mesmo, não são iguais, pois consideramos pessoas,

Mutiplicando tudo isso, chegaremos na resposta, talvez por uma coincidência.

Mais uma vez, não vejo como isso considera muito bem a ordem, tirando o fato das soluções serem uplas ordenadas.

Isso também é válido? Valeu

Giiovanna escreveu:Luck, mas

8!11!C(12,4) = 8! 11! (12!/4!8!) = (12! 11!)/4! como eu coloquei acima, certo?

Eu havia colocado logo em seguida uma solução muito parecida com a sua, mas pensei que tivesse dado certo por uma questão de sorte. Mas achei uma muito mais fácil utilizando a ideia do Gabriel de fixar os homens ao invés das mulheres, sem utilizar as soluções das equações.

O que eu tinha colocaso:

Posicionando as mulheres antes dos homens:

1) Há 8! maneiras de organizarmos as mulheres

2) Essas mulheres delimitam 9 espaços dos quais 7 devem ter pelo menos um homem. Então, se os homens fossem indistinguíveis e não tivessemos a condição que eu citei, bastaria acharmos o número de soluções inteiras da equação

x1 + x2 + ... + x9 = 11. Mas x2, ... , x8 não podem ser 0. Assim, teriamos o número de soluções inteiras de

x1 + y2 + ... + y8 + y9 = 4 (I)
Em que yi = xi + 1

Mas não podemos somente somar 1 no xi, pois não estamos falando de elementos indistinguíveis. Então, queremos as soluções de quantos tipos de equações como a I? A_{11,8} = 11!/8!, certo?

Agora, para acharmos o número de soluções inteiras de um desses tipos, teriamos que fazer a permutação de h1, h2, h3, h4 e 8 divisórias . Assim, o número de soluções de um desses tipos de equações seria 12!/8!. Isso por que cada unidade, apesar de valer o mesmo, não são iguais, pois consideramos pessoas,

Mutiplicando tudo isso, chegaremos na resposta, talvez por uma coincidência.

Mais uma vez, não vejo como isso considera muito bem a ordem, tirando o fato das soluções serem uplas ordenadas.

Isso também é válido? Valeu

Eu acho que pode somar o 1 no xi ,contanto que no final permute, nessa parte da solução estaria apenas fazendo a distribuição do grupo de homens em geral (quantos iriam pra cada espaço) ,que deve ser contada, até aí são indistinguíveis , mas feito a distribuição devemos permutar , ao fazer isso estaria contando todas as possibilidades de homens e mulheres distintos.. essa foi minha interpretação, mas como nao tem gabarito pode ser que esteja errado.

sim, eu só fiz outra versão da sua solução. É que quando eu havia feito, não tinha pensado como você, sua ideia é bem mais clara