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Análise Combinatória

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Análise Combinatória  - Página 2 Empty Análise Combinatória

Mensagem por Man Utd Ter 23 Jul 2013, 22:17

Relembrando a primeira mensagem :

Quantas maneiras diferentes podem sentar-se 11 homens e 8 mulheres numa fila se duas mulheres nunca sentam juntas?
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Análise Combinatória  - Página 2 Empty Re: Análise Combinatória

Mensagem por Giiovanna Qui 25 Jul 2013, 12:59

@Gabriel Rodrigues escreveu:Se considerarmos os homens e as mulheres, a ordem entre eles importa (como você disse, as mulheres não podem estar duas juntas...). No entanto, nos cálculos 1) e 2), por exemplo, decidir se a ordem importa ou não parece ser fundamental. 

Eu ainda vejo que o enunciado considera os homens como elementos indistinguíveis e as mulheres como outro "tipo" de elementos indistinguíveis (como os H's e os M's), apesar de ser ilógico (ninguém é igual a ninguém Razz ). 
Eu acho que eu fui muito "mal acostumado" com problemas nos quais os elementos são explicitamente distinguíveis ou explicitamente indistinguíveis. Daí minha confusão nesse exercício: ele não deu nomes para as pessoas (19 nomes haha) e eu concluo que os H's e M's não formam sequência no próprio conjunto (conjunto dos H's e conjunto dos M's).

Enfim, muito provavelmente você está certa. Até porque a resposta do jeito que eu estou pensando ia dar muito pequena.

 Isso é uma questão de prática mesmo,eu já me confundi muito nisso . Aliás, eu aprendi análise combinatória somente esse ano, a última vez que eu vi foi a três anos e já não lembrava de nada, não ficava claro se eu tinha que fazer permutação ou combinação. Na fivest, não consegui nem começar o de análise combinatória. 

problemas de jogar 3 dados, por exemplo, eu não entendia a necessidade de ordenar os números que saiam. 

Infelizmente, nem sempre está explícito se temos que ordená-los(ou distinguí-los), mas fazendo mais exercícios, vai ficando cada vez mais claro o que temos que fazer. Mas ainda sim surgem dúvidas as vezes. 

Se o problema fosse: De quantas maneiras podemos ordenar 19 pessoas em fila, você ficaria em dúvidas de fazer combinação ou permutação? 

E se fosse: De quantas maneiras podemos ordenar 11 homens e 8 mulheres em fila?

Se utilizassemos combinação, pra mim, ambos os resultados deveriam dar 1. Logo, para colocarmos 8 mulheres e 11 homens em fila sem que uma mulher ficasse do lado da outra, esse resultado deveria ser menor ou igual a 1, não teria como ser maior, e assim não faria sentido.

Talvez seja uma maneira de ver a necessidade da ordem e da distinção de elementos nesse problema. De fato, o número de maneiras dos 11 homens e 8 mulheres sentarem-se em fila de modo que nenhuma mulher fique do lado de outra deve ser menor ou igual o número de maneira dessas 19 pessoas sentarem-se em fila, não?
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Análise Combinatória  - Página 2 Empty Re: Análise Combinatória

Mensagem por Gabriel Rodrigues Qui 25 Jul 2013, 17:38

@Giiovanna escreveu:Isso é uma questão de prática mesmo,eu já me confundi muito nisso . Aliás, eu aprendi análise combinatória somente esse ano, a última vez que eu vi foi a três anos e já não lembrava de nada, não ficava claro se eu tinha que fazer permutação ou combinação. Na fivest, não consegui nem começar o de análise combinatória. 

problemas de jogar 3 dados, por exemplo, eu não entendia a necessidade de ordenar os números que saiam. 

Infelizmente, nem sempre está explícito se temos que ordená-los(ou distinguí-los), mas fazendo mais exercícios, vai ficando cada vez mais claro o que temos que fazer. Mas ainda sim surgem dúvidas as vezes. 

Se o problema fosse: De quantas maneiras podemos ordenar 19 pessoas em fila, você ficaria em dúvidas de fazer combinação ou permutação? 

E se fosse: De quantas maneiras podemos ordenar 11 homens e 8 mulheres em fila?

Se utilizassemos combinação, pra mim, ambos os resultados deveriam dar 1. Logo, para colocarmos 8 mulheres e 11 homens em fila sem que uma mulher ficasse do lado da outra, esse resultado deveria ser menor ou igual a 1, não teria como ser maior, e assim não faria sentido.

Talvez seja uma maneira de ver a necessidade da ordem e da distinção de elementos nesse problema. De fato, o número de maneiras dos 11 homens e 8 mulheres sentarem-se em fila de modo que nenhuma mulher fique do lado de outra deve ser menor ou igual o número de maneira dessas 19 pessoas sentarem-se em fila, não?

É verdade. No primeiro exemplo, seria apenas 1 modo de ordená-las. Porém, no segundo, acho que seria maior que 1, pois as mulheres podem ocupar posições distintas entre os homens, não? Por exemplo, se considerarmos os espaços entre os homens já dispostos (o que pode ser feito de 1 forma, se os tratarmos como elementos indistinguíveis), uma forma seria as mulheres ocuparem os lugares 1,2,3,4,5,6,7,8 ou 1,3,4,5,6,7,8,9, sendo 12 lugares ao todo. Na verdade, poderíamos escolher esses lugares de C_{12,8} formas, não? 

Mas você está certa. É lógica e prática mesmo. Dá para entender que as "pessoas" (ou homens" e "mulheres") são elementos distinguíveis. 

Uma outra pergunta: e se no lugar de pessoas considerássemos bolas. As mulheres como bolas brancas e os homens como bolas pretas. O problema seria combinação, certo?

Enfim, você aprendeu esse conteúdo (probabilidade/combinatória) com uma rapidez significativa, já que teve apenas 7 meses para ver e já sabe bastante sobre.

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Mensagem por Giiovanna Qui 25 Jul 2013, 19:25

7 meses nada Razz Minhas aulas começaram em março e mais ou menos no meio daquele mês  comecei a estudar combinatória. Meu professor de probabilidade e estatistica deu apenas duas aulas de estatística e já foi para análise combinatória. Em maio eu já tinha que estar sabendo pra prova (não tanto quanto eu deveria) Very Happy 

É que quando falamos pessoas, dentre elas temos homens e mulheres, mas não sabemos quanto de cada um dos "grupos".Mas não sei se necessariamente 12 lugares pois, entre duas mulheres, poderiamos colocar até 5 homens, como eu enfatizei. Assim, se considerassemos que as mulheres não são distinguiveis entre si, bem como os homens, usariamos combinatória, mas quanto ao número de lugares, deveriamos considerar

_ _ _ _ M _ _ _ _ _ M ... M _ _ _ _ _ M _ _ _ _

Lembrando que temos obrigatoriamente um homem entre 2 mulheres. Assim, os homens deveriam poder ocupar aqueles lugares ali.

Então vamos colocar bolas brancas e bolas pretas:

Temos 8 bolas brancas e 11 bolas pretas. De quantas maneiras podemos colocar essas 19 bolas em fila de modo que não haja bolas brancas seguidas (ou seja, haja pelo menos uma bola preta entre duas brancas)?

Pra mim permaneceria o problema de encaixar as bolas pretas restantes:

----B-----B-----B-----B-----B-----B-----B-----B----

Primeiro a gente teria que colocar ao menos uma bola preta entre as brancas.

Ai ficariam os 36 lugares disponíveis, e ai eu faria da seguinte maneira: Chamo de bola vermelha os lugares vazios e faria 36!/32!4! (permutação com repetição)

O problema é que desse jeito eu acho que estou contando coisas a mais. Por exemplo, estaria contando a posição que fica

BVVPVPB diferente de BPVVPVB sendo que elas gerariam o mesmo resultado. 

Será que na outra existe coisa a mais sendo contada? Mad Mad
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Mensagem por Giiovanna Qui 25 Jul 2013, 19:34

Ah, 36!/32!4! = C_{36,4} deeer Razz

Não, não está dobrado.
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Mensagem por Giiovanna Qui 25 Jul 2013, 19:52

Acho que sim, então caso da para fazer por combinatória. Mas acho que seriam 36 lugares ao invés de 12.

No outro, podemos usar, ao invés de bolas brancas, associar os lugares aos 4 homens restantes. Como se o problema fosse o seguinte: De quantas maneiras podemos escrever um código de 4 digitos distintos (pois no nosso problema, dois homens nunca sentam-se no mesmo lugar ao mesmo tempo)  utilizando 36 símbolos (distintos)? A_{36,4}= 36!/32!

Acho que o arranjo descreve melhor a ideia ao invés de bolinhas e etiquetas.

 A diferemça é que no caso das bolinhas pretas e brancas não há uma ordenação ou distinção. Basta escolhermos 4 dos 36 lugares para colocaros as bolinhas
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Mensagem por Gabriel Rodrigues Sex 26 Jul 2013, 08:34

A diferença é bem simples, aparentemente. 
Se os homens e as mulheres são distinguíveis em cada grupo, então a ordem como você vai colocá-los na "forma padrão" importa. Essa forma pode ser feita de A_{8,8} . A_{11,7}. Chegando nessa forma, temos 36 lugares para colocar os 4 homens restantes. Aí permutamos os homens e os lugares vazios, que acaba sendo A_{36,4}.

A_{8,8} . A{11,7} . A{36,4}

Para homens e mulheres indistinguíveis no grupo, acho que a diferença seria que a forma padrão só pode ser escolhida de uma forma. Então:

C_{36,4} (como você conclui no outro post)

Estava pensando que, no caso das bolas, íamos precisar contar as formas que escolhemos as bolas pretas para a forma padrão, mas todas são iguais. Nesse caso, não posso fazer uma combinação né? Pois todas dariam (P,P,P,P,P,P,P,P), uma vez que os lugares estão fixados e os elementos são indistinguíveis.

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Mensagem por Giiovanna Sex 26 Jul 2013, 10:37

Acho que não tem necessidade de escolher os lugares das outras bolas pois daria 1 mesmo. Além disso, acho que eles serão determinados ao fazermos C_{36,4}, eles não são exatamente fixados como no outro caso. 

Nesse caso das bolas, acho que estamos contando certo. Mas tenho minhas dúvidas sobre eu não ter contado nada a mais no outro exercício.Para tirar a prova disso, teria que separar em muitos casos, ia dar muito trabalho.
E como eu sou preguiçosa e gosto de fazer tudo da maneira mais fácil possível, assim me pareceu bom. Talvez fazendo um caso menor com 2 mulheres e 4 homens consigamos verificar se eu contei certo da outra vez. Ai fica fácil "contar na mão", ou seja, fazendo cada caso do número de homens entre mulheres, de 1 homem até 4.
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Mensagem por Gabriel Rodrigues Sex 26 Jul 2013, 11:09

@Giiovanna escreveu:E como eu sou preguiçosa e gosto de fazer tudo da maneira mais fácil possível, assim me pareceu bom. 
 Razz 

Se fizermos C_{36,4}, de fato tem coisa a mais sendo contada. Qualquer permutação dos P's a cada 4 espaços vazios é a mesma coisa, mas, como ocupam lugares distintos nos 36, a combinação entende como se fossem ordenações distintas. 

Como proceder?

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Mensagem por Giiovanna Sex 26 Jul 2013, 11:25

Sim, este é o ponto Razz Não vejo outra maneira de fazer

 Deve haver uma maneira de eliminarnisso que estamos contando a mais, as repetições.
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Mensagem por Giiovanna Sex 26 Jul 2013, 13:09

Acho que não conseguimos fugir das repetições mesmo. 
Fazendo arranjo ou combinação, achi que estamos considerando muita coisa a mais. Teriamos, então, que utilizar permutação com repetição ou algo do tipo para elminimarmos isso.

Vamos fazer o caso com 2 mulheres e 3 homens, em que a mulher nunca senta-se do lado da outra. Temos as seguintes disposições

HHMHM
HMHMH
MHMHH
HMHHM
MHHMH
MHHHM

São todas essas possibilidades de filas (estou considerando homens e mulheres todos indistinguiveis,mcomo no caso das bolinhas), Teriamos 6 filas possíveis.

Agora, utilizando o outro jeito que tinhamos feito:

_ _ M _ H  _ M _ _ 

C_{6,2} = 6!/4!2! = 6.5/2 = 15 

Estamos contado a mais, de fato

Poderiamos usar repetições, por exemplo colocando uma cor nos lugares.

 L L M L L M L L 


Cada uma das 3 bolinhas tem que ficar com um L colorido. Mas temos que tomar cuidado de não imprimirmos uma ordem e com o fato das bolinhas serem indistinguíveis (acho que nesse caso, ficaria muito mais fácil se fossem distinguíveis).


Assim, teriamos que distribuir as cores para as bolinhas, mas não colocarmos uma ordem nisso pois elas não são distintas. Então, é como se uma mesma pessoa retirasse de uma urna duas vezes um cartão com uma das 3 cores com reposição, não importando a ordem com que as cores foram tiradas, mas sim as próprias cores em si.


Mas como "desordenar" esses pares de retiradas de cor?


Se neste caso as pessoas (ou bolinhas) fosse distintas, bastaria fazer arranjo com repetição, distribuindo as cores para cada pessoa restante. Acho que então não seria 36!/32!, bastaria que cada uma das 4 pessoas restante escolhesse uma das 9 cores(ou regiões entre as mulheres) disponíveis. 


Dispor as bolinhas "macho" em fila, nesse caso, é mais vantajoso, e contarmos os 4 lugares que estas delimitam, escolhendo 2 para as mulheres é o melhor a se fazer nesse caso em que não há distinção dos elementos, como você sugeriu inicialmente.

Mas, no problema original do tópico, não bastaria somente isso pelo fato dos homens e mulheres serem elementos distintos, acho que a combinatória não se aplica a isso. Então, eu acho que a resposta correta seria:

Há 11! maneiras de dispor os homens em fila. Estes delimitam os 12 lugares que você falou. Cada mulher deve escolher 1. Então, há A_{12,8} = 12!/4! maneiras de distribuirmos esses lugares para as mulheres.

Acredito que a resposta deva ser, então, (12! 11!)/4!

Esse número é menor que 19! pelo menos, que seria o número total de maneiras de dispor essas 19 pessoas em fila.

Estou contando algo a mais agora?
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