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Análise Combinatória

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Mensagem por Man Utd Ter 23 Jul 2013, 22:17

Quantas maneiras diferentes podem sentar-se 11 homens e 8 mulheres numa fila se duas mulheres nunca sentam juntas?
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Análise Combinatória  Empty Re: Análise Combinatória

Mensagem por Gabriel Rodrigues Qua 24 Jul 2013, 10:39

Inicialmente, dispomos os 11 homens na fila. Eles delimitam 11+1 = 12 lugares. Precisamos colocar as mulheres nesses 12 lugares. Note que isso basta para satisfazer a condição de duas mulheres não sentarem juntas. 

As mulheres podem ser arranjadas de C_{12,8} = 495 formas.

Posso estar esquecendo algo, então peço aos colegas que avaliem, por favor.

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Mensagem por Giiovanna Qua 24 Jul 2013, 10:47

Para que duas mulheres nunca fiquem juntas, deve haver pelo menos um homem entre elas. Assim, temos uma "configuração mínima" de como essa fila deve ser:

MHMHMHMHMHMHMHM

M --> Mulher
H --> Homem

Encaixamos somente 7 dos 11 homens disponíveis. Restam 4 que devemos arrumar. Vamos ver quais posições eles podem ocupar:

_ _ _ _ M _ _ _ _ H M _ _ _ _ H M _ _ _ _H M _ _ _ _ H M _ _ _ _ H M _ _ _ _H M _ _ _ _  H M _ _ _ _

_ --> Espaço na fila que pode ser ocupado por um homem. (4 espaços pois há 4 homens "sobrando", 
então eles podem ficar todos no começo, por exemplo).

Denotamos por O se o espaço não for ocupado por nenhum homem. Então, devemos ter que 4 H's irão preencher esses espaços vazios e 32 O's o restante.

Então vamos calcular:

1) Há 8! maneiras de colocar as mulheres em seus respectivos lugares

2) Há 11! / 4! maneiras de colocarmos os 7 homens necessários entre as mulheres (essa é só uma maneira bonita de escrever o produto 11 * 10 * 9 * ... * 5)

3) Há 36!/32! maneiras de arranjar os 4 H's e 32 O's nos espaços vazios, lembrando que essa permutação é com repetição pois podemos considerar que " todos os O's " são iguais.

Assim, há 8! * (11!/4!) * (36!/32!) maneiras de formarmos essas filas.

Ficou claro? Smile

 Acho que é isso, maspode ser que eu tenha esquecido algo.


Última edição por Giiovanna em Qua 24 Jul 2013, 10:50, editado 1 vez(es)
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Mensagem por Giiovanna Qua 24 Jul 2013, 10:49

@Gabriel Rodrigues escreveu:Inicialmente, dispomos os 11 homens na fila. Eles delimitam 11+1 = 12 lugares. Precisamos colocar as mulheres nesses 12 lugares. Note que isso basta para satisfazer a condição de duas mulheres não sentarem juntas. 

As mulheres podem ser arranjadas de C_{12,8} = 495 formas.

Posso estar esquecendo algo, então peço aos colegas que avaliem, por favor.
Acho que o que falta é: Pode haver mais de 1 homem entre as mulheres. Deve haver pelo menos um, não um único, necessariamente. Pode haver até 5 homens entre duas e termos a condiçãp satisfeita Smile
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Mensagem por Gabriel Rodrigues Qua 24 Jul 2013, 17:01

@Giiovanna escreveu:
1) Há 8! maneiras de colocar as mulheres em seus respectivos lugares

2) Há 11! / 4! maneiras de colocarmos os 7 homens necessários entre as mulheres (essa é só uma maneira bonita de escrever o produto 11 * 10 * 9 * ... * 5)

3) Há 36!/32! maneiras de arranjar os 4 H's e 32 O's nos espaços vazios, lembrando que essa permutação é com repetição pois podemos considerar que " todos os O's " são iguais.

Assim, há 8! * (11!/4!) * (36!/32!) maneiras de formarmos essas filas.

1) Quantos são os lugares possíveis que as mulheres podem ocupar? 

2) Esse 11!/4! é o número de formas de escolher os H's pra ocupar os lugares? Mas os H's não são todos iguais? Não deveria ser combinação? 

3) Os H's não são iguais? Por que não podemos ter 36!/32!.4! ?

Obrigado. Smile

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Mensagem por Giiovanna Qua 24 Jul 2013, 18:57

É, de fato os H's fizeram parecer que são todos iguais. Mas o que eu quis dizer é que H representa um homem e eles são todos diferentes entre si.

Então, imagine que cada homem é representado por H e um índice numérico de 1 à 11 (H1, H2, ... , H11} e que os H's representam somente os lugares que esses Hi's podem ocupar. Vamos distribuir os Hi's do conjunto {H1, H2, ... H11} dentre os lugares H. Assim da pra ver por que é permutação? O mesmo para as mulheres

Ou simplesmente não pense nos H's como elementos iguais, que cada um representa um homem diferente. Não precisa pensar na permutação direta dos H's, mas dos homens que serão colocados nos lugares H. Acho que assim fica melhor.

Talvez tenha ficado confuso pois eu considerei os O's como elementos iguais. Mas eles seriam como etiquetas brancas idênticas que vamos colar nos lugares vazios. 

Assim, estamos permutamdo 36 elementos (4 homens diferentes e 32 etiquetas idênticas) nos lugares possíveis.

Ficou menos confuso agora? Surprised
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Mensagem por Giiovanna Qua 24 Jul 2013, 19:02

Há, quanto a pergunta 1, não entendi bem. Elas devem ocupar 8 lugares, certo? Desde que não haja uma do lado da outra.

Pense que os lugares que eu colocar O (ou a tal etiqueta branca) não existem. A partir do momento que estão vazios, não existem. talvez isso tenha ficado confuso também., pois a noção de fila nos diz um ao lado do outro. Então, as mulheres ocupam todos os lugares com a letra M
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Mensagem por Gabriel Rodrigues Qua 24 Jul 2013, 19:13

Ficou menos confuso agora. Eu sou doido, achei que todos os homens fossem iguais :drunken: 

Se os homens e as mulheres são diferentes entre si (e são), entendo os três cálculos. 
Mas se as mulheres e os homens fossem iguais entre si (elementos indistinguíveis), haveria apenas 1 maneira de colocar as mulheres (C_{8,8}) e C_{11,7} de dispor os homens. 

Porém, pelo menos pra mim, do jeito que o enunciado está, imagino os homens como elementos indistinguíveis e as mulheres como elementos indistinguíveis também. Nesse caso, as possibilidades seriam drasticamente reduzidas.

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Mensagem por Giiovanna Qua 24 Jul 2013, 19:54

Se nomearmos as pessoas, fica melhor. Fica claro que trocar duas pessoas de lugar, por exemplo, João com Paulo, temos uma fila distinta.

Bom, mesmo que as pessoas fossem distinguíveis e quisermos formar grupos, temos que fazer combinação devido a não importância da ordem. Em um grupo, importa as pessoas que estão neles, não a ordem em que foram escolhidaS.

Nesse caso, a fila, ao meu ver, implica uma ordem, tanto que não queremos mulheres uma em seguida da outra. Acho que assim fica fácil perceber que combinação não faz muito sentido (bom, pelo menos pra mim Razz

Mas enfim, acho que é isso então. Ficou faltando o gabarito
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Mensagem por Gabriel Rodrigues Qui 25 Jul 2013, 06:51

Se considerarmos os homens e as mulheres, a ordem entre eles importa (como você disse, as mulheres não podem estar duas juntas...). No entanto, nos cálculos 1) e 2), por exemplo, decidir se a ordem importa ou não parece ser fundamental. 

Eu ainda vejo que o enunciado considera os homens como elementos indistinguíveis e as mulheres como outro "tipo" de elementos indistinguíveis (como os H's e os M's), apesar de ser ilógico (ninguém é igual a ninguém Razz ). 
Eu acho que eu fui muito "mal acostumado" com problemas nos quais os elementos são explicitamente distinguíveis ou explicitamente indistinguíveis. Daí minha confusão nesse exercício: ele não deu nomes para as pessoas (19 nomes haha) e eu concluo que os H's e M's não formam sequência no próprio conjunto (conjunto dos H's e conjunto dos M's).

Enfim, muito provavelmente você está certa. Até porque a resposta do jeito que eu estou pensando ia dar muito pequena.

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