Análise combinatória

por AmandaPericles Sáb 07 Set 2013, 14:38

Quantos quadrados perfeitos são divisores do produto 1!2!3!...9!?

por **Elcioschin** Dom 08 Set 2013, 11:07

1! = 1
2! = 2
3! = 6 = 2.3
4! = 24 = 2³.3
5! = 120 = 2³.3.5
6! = 720 = (2^4).(3²).5
7! = 5040 = (2^4).(3²).5.7
8! = 40320 = (2^7).(3²).5.7
9! = 362880 = (2^7).(3^4).5,7

Multiplique tudo colocando os expoentes finais de 2, 3, 5, 7 e pense a respeito!

por Victor Luz Ter 17 Abr 2018, 18:15

Mestre, eu não consegui entender o padrão apresentado, seriam todos os valores que tem expoente par?

por **Elcioschin** Ter 17 Abr 2018, 18:52

Não tem nada a ver

x = 1!.2!3!.4!.5!.6!.7!.8!.9!

Substitua cada fatorial pelos meus resultados e determine todos os expoentes dos fatores primos 2, 3, 5, 7

por **PedroX** Ter 17 Abr 2018, 19:17

Aproveitando a resposta do Elcioschin:

Produto =1 * 2^30 * 3^13 * 5^5 * 7^3

Queremos apenas os expoentes que sejam pares.

De 0 a 30 temos 16 expoentes pares para o número 2.
De 0 a 13 temos 7 expoentes pares para o número 3.
De 0 a 5 temos 3 expoentes pares para o número 5.
De 0 a 3 temos 2 expoentes pares para o número 3.

Portanto temos 16*7*3*2 possíveis combinações entre eles, o que dá um total de 672 divisores que são quadrados perfeitos.